Процедура преобразования двоичного числа в десятичное проста: необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.
Пример 1. Преобразование целого двоичного числа 11001100 в десятичное:
|








![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
![]() | |||||||||||
∑ 204
Результат. 11001100 дв. = 204 дес.
Пример 2. Преобразование вещественного двоичного числа 101.011 в десятичное.
1 0 1. 0 1 1
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
![]() | ||||||||||
∑ 5.375
Результат. 101.011 дв. = 5,375 дес.
Шестнадцатеричная система счисления.
В шестнадцатеричной системе счисления используются следующие 16 символов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Практическое использование шестнадцатеричной системы счисления объясняется тем, что число 16 есть число 2 в четвертой степени. Иначе говоря, шестнадцатеричную цифру можно использовать как средства сокращенной записи 4-разрядного двоичного числа. Процедура преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное довольно проста. Биты, начиная с младшего значащего бита (расположенного рядом с двоичной точкой), объединяются в группы по четыре. Каждой группе подбирается соответствующий шестнадцатеричный символ.
Чтобы преобразовать двоичное число 10101011111101, необходимо сформировать биты в группы по четыре, начиная справа, и добавить два незначащих нуля в левую крайнюю группу для формирования четырех бит: 0010 1010 1111 1101. Заменим каждую группу битов соответствующим шестнадцатеричным символом, получим число 2AFD.
|
Принято шестнадцатеричные числа обозначать в конце числа большой латинской буквой H. Например: 2AFDH, C7H, 3H, 5AH и т. п.
Следует помнить, что шестнадцатеричные числа - это только способ представления двоичных чисел, которыми фактически оперирует микропроцессор.
Шестнадцатеричные числа и их двоичные и десятичные эквиваленты.
Шестнадцате-ричное число | Двоичное число | Десятичное число |
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
A 1010 10
B 1011 11
C 1100 12
D 1101 13
E 1110 14
F 1111 15
10 1 0000 16
11 1 0001 17
12 1 0010 18
13 1 0011 19
14 1 0100 20
15 1 0101 21
16 1 0110 22
17 1 0111 23
18 1 1000 24
19 1 1001 25
1A 1 1010 26
1B 1 1011 27
1C 1 1100 28
1D 1 1101 29
1E 1 1110 30
1F 1 1111 31
20 10 0000 32
ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА
Двоичное сложение.
Сложение двоичных чисел подобно сложению десятичных. В обоих случаях операции начинаются с обработки наименьших значащих цифр, расположенных в крайней справа позиции. Если результат сложения наименьших значащих цифр двух слагаемых не помещается в соответствующем разряде результата, то происходит перенос. Цифра, переносимая в соседний слева разряд, добавляется к содержимому последнего. Сложение цифр любых одноименных разрядов может повлечь за собой перенос в более старший разряд. Перенос возникает, если результат сложения цифр одноименных разрядов больше 9 при использовании десятичной арифметики, и больше 1 в случае двоичной системы.
Сходство и различие операций десятичного и двоичного сложения можно продемонстрировать на следующем примере:
|
Десятичная Двоичная
Слагаемое 1 99 0110 0011
Слагаемое 2 95 0101 1111
------------------------------- ---------------
Сумма 194 1100 0010
Рассмотренный пример свидетельствует о простоте процедуры двоичного сложения. Единственное неудобство, присущее двоичным операциям, - громоздкость записи больших чисел в двоичной форме, что вызывает множество переносов из одного разряда в другой при выполнении операции сложения.
Двоичное вычитание.
Двоичное вычитание подобно десятичному вычитанию. Как и в случае сложения, различие выполнения вычитания в двоичной и десятичной форме состоит лишь в особенностях поразрядных операций.
Сравнение процедур десятичного и двоичного вычитания можно продемонстрировать на следующем примере:
Десятичная Двоичная
Уменьшаемое 109 0110 1101
Вычитаемое 49 0011 0001
------------------------------ -------------
Разность 60 0011 1100
Двоичное вычитание начинается операцией над значением крайних справа двоичных разрядов уменьшаемого и вычитаемого.
Двоичное умножение.
Двоичное и десятичное умножение, так же, как и двоичное и десятичное сложение или вычитание, во многом похожи. Умножение - это быстрый способ сложения нескольких одинаковых чисел. При умножении одно из чисел называется множимым, другое - множителем. Умножение выполняется поразрядно.
Создан простой способ выполнения двоичного умножения, получивший название "умножение путем сдвига и сложения". Перечислим основные правила этого способа.
1. Формирование первого частичного произведения.
Если значение младшего значащего разряда множителя равно 0, то и результат равен 0, если значение этого разряда равно 1, то результат является копией множимого.
|
2. Правило сдвига.
При использовании очередного разряда множителя для формирования частичного произведения производится сдвиг множимого на один разряд (позицию) влево.
3. Правило сложения.
Каждый раз, когда значение разряда множителя равно 1, к результату необходимо прибавить множимое, расположенное в позиции, определенной правилом сдвига.
4. Определение результирующего произведения.
Искомое произведение есть результат выполнения всех операций сдвига и сложения.
Продемонстрируем действие этого способа на примере умножения 17 на 11.
Десятичная Двоичная
Множимое 17 0001 0001
Множитель 11 0000 1011
-------------
--------------------------- -----------------
Произведение 187 00010111011
Двоичное деление.
Деление - это операция, обратная умножению. Иначе говоря, при делении операцию вычитания повторяют до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом.
Варианты контрольных заданий.
№ пп | Двоичная арифметика | Минимизация переключ. функций | Счетчики | Примечание |
1.1 | 2.1 | 3.1 | ||
1.2 | 2.2 | 3.2 | ||
1.3 | 2.3 | 3.3 | ||
1.4 | 2.4 | 3.4 | ||
1.5 | 2.5 | 3.5 | ||
1.6 | 2.6 | 3.6 | ||
1.7 | 2.7 | 3.7 | ||
1.8 | 2.8 | 3.8 | ||
1.1 | 2.8 | 3.1 | ||
1.2 | 2.7 | 3.2 | ||
1.3 | 2.6 | 3.3 | ||
1.4 | 2.5 | 3.4 | ||
1.5 | 2.4 | 3.5 | ||
1.6 | 2.3 | 3.6 | ||
1.7 | 2.2 | 3.7 | ||
1.8 | 2.1 | 3.8 | ||
1.1 | 2.8 | 3.8 | ||
1.2 | 2.7 | 3.7 | ||
1.3 | 2.6 | 3.6 | ||
1.4 | 2.5 | 3.5 | ||
1.5 | 2.4 | 3.4 | ||
1.6 | 2.3 | 3.3 | ||
1.7 | 2.2 | 3.2 | ||
1.8 | 2.1 | 3.1 | ||
1.1 | 2.1 | 3.8 | ||
1.2 | 2.2 | 3.7 | ||
1.3 | 2.3 | 3.6 | ||
1.4 | 2.4 | 3.5 | ||
1.5 | 2.5 | 3.4 | ||
1.6 | 2.6 | 3.3 | ||
1.7 | 2.7 | 3.2 | ||
1.8 | 2.8 | 3.1 | ||
1.8 | 2.1 | 3.8 | ||
1.7 | 2.2 | 3.7 | ||
1.6 | 2.3 | 3.6 | ||
1.5 | 2.4 | 3.5 | ||
1.4 | 2.5 | 3.4 | ||
1.3 | 2.6 | 3.3 | ||
1.2 | 2.7 | 3.2 | ||
1.1 | 2.8 | 3.1 |
Контрольные задания
1. Двоичная арифметика.
1.1. Представить в двоичной системе счисления и сложить два числа: 97 и 115. Результат представить в шестнадцатиричной системе счисления.
1.2. Представить в двоичной системе счисления и сложить два числа: 83 и 126. Результат представить в шестнадцатиричной системе счисления.
1.3. Представить в двоичной системе счисления и умножить два числа: 97 и 5. Результат представить в шестнадцатиричной системе счисления.
1.4. Представить в двоичной системе счисления и умножить два числа: 9 и 15. Результат представить в шестнадцатиричной системе счисления.
1.5. Представить в двоичной системе счисления и умножить два числа: 6 и 35. Результат представить в шестнадцатиричной системе счисления.
1.6. Сложить числа, представленные в шестнадцатиричной системе счисления: 3F и AD. Результат представить в десятичной системе счисления.
1.7. Сложить числа, представленные в шестнадцатиричной системе счисления: 6A и 7C. Результат представить в десятичной системе счисления.
1.8. Сложить дробные числа, представленные в двоичной системе счисления 1100,1011 и 1001,1001. Результат представить в десятичной системе счисления.