Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Функциональные ряды

Равномерная сходимость функционального ряда

Пусть – функции комплексной переменной z. Ряд

носит название функционального ряда.

Важнейшим понятием для теории таких рядов является понятие равномерной сходимости.

Пусть сказано «функциональный ряд сходится в области G ». Что это значит? Это значит, что он сходится в каждой точке этой области, то есть

.

Самым неприятным является тут то, что зависит не только от e, но и от z. Из-за этой зависимости ряд может иметь очень неприятные свойства. Желание избавится от z и приводит к понятию равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G, если

.

Обратите внимание на то, куда переместился квантор и на то, что теперь зависит только от e.

Равномерно сходящиеся ряды обладают очень хорошими свойствами, которые будут описаны ниже.

Признак Вейерштрасса. Если существуют такие неотрицательные числа , что

1. , ;

2. ,

то ряд сходится равномерно в области G.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Не давая точных формулировок, перечислим свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

1. Если все непрерывны в области G, то сумма ряда есть также непрерывная области G функция.

2. Если все аналитичны в области G, то сумма ряда есть также аналитическая в области G функция.

3. Если ряд сходится равномерно в области G, то в нем допустим почленный переход к пределу, то есть

.

4. Если ряд сходится равномерно в области G, то его можно почленно интегрировать, то есть

.

5. Если ряд сходится равномерно в области G, то его можно почленно дифференцировать любое число раз, то есть

.

Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида .(1.1)

Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а – некоторое постоянное число, х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1.1) принимает вид

. (1.2)

Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности ,

ряд (1.2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.

Теорема Абеля:

если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (1.2).

Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание: если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2),

то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).

Для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера: ;(1.3)