Формула решения квадратного уравнения.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = b,

где a₁, b₁, …,a_n, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1) система не имеет решений;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

 

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Решить систему уравнений

x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

 

Ответ: Решений нет.

 

Пример 2.6. решить систему уравнений

x + y = 5,

2x + 2y = 10.

 

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

 

Ответ: Бесконечно много решений.

 

Пример 2.7. решить систему уравнений

 

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

 

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

 

Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

 

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

 

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

Ответ: 3.

 

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a¹0);

x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax² + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x² + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x² + (b / a) + (c / a) = (x² + 2(b / 2a)x + (b / 2a)²) – (b / 2a)² + (c / a) =

= (x + (b / 2a))² – (b²) / (4a²) + (c / a) = (x + (b / 2a))² – ((b² – 4ac) / (4a²)).

Для краткости обозначим выражение (b² – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²)).

Возможны три случая:

1) если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD)². Тогда

D / (4a²) = (ÖD)² / (2a)² = (ÖD / 2a)², потому тождество принимает вид

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (ÖD / 2a)².

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

 

Теорема: Если выполняется тождество

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при X₁ ¹ X₂ имеет два корня X₁ и X₂, а при X₁ = X₂ — лишь один корень X₁.

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax² + bx + c = 0, имеет два корня:

X₁=(-b + Ö D) / 2a; X₂= (-b - Ö D) / 2a.

Таким образом x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b² – 4ac = D.

 

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²))

принимает вид x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))².

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X₁ = – b / 2a

 

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x² + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))² – (D / (4a²))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x² + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax² + bx + c = 0.

 

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b² – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X₁=(-b + ÖD) / (2a); X₂= (-b - ÖD) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x² + px + q = 0.

 

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x² + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X₁ и X₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x² + (b / a)x + (c / a) = x² – x₁x – x₂x + x₁x₂ = x² – (x₁ + x₂)x +x₁x₂.

Отсюда следует, что X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X²; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X².

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a,

то числа X₁ и X₂ являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.

Замечание. Формулы X₁ + X₂ = – b / a и X₁X₂ = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень X₁ кратности 2, если положить в указанных формулах X₂ = X₁. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X₁) + (1/ X₂)= (X₁ + X₂)/ X₁X₂;

X₁² + X₂² = (X₁ + X₂)² – 2 X₁X₂;

X₁ / X₂ + X₂ / X₁ = (X₁² + X₂ ²) / X₁X₂ = ((X₁ + X₂)² – 2X₁X₂) / X₁X₂;

X₁³ + X₂³ = (X₁ + X₂)(X₁² – X₁X₂ + X₂²) =

= (X₁ + X₂)((X₁ + X₂)² – 3X₁X₂).

 

Пример 3.9. Решить уравнение 2x² + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X₁ = (- 5 + Ö33) / 4; X₂ = (- 5 -Ö33) / 4.

Ответ: X₁ = (- 5 + Ö33) / 4; X₂ = (- 5 -Ö33) / 4.

 

Пример 3.10. Решить уравнение x³ – 5x² + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x² – 5x + 6) = 0,

отсюда x = 0 или x² – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X₁ = 2, X₂ = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

 

Пример 3.11.

x³ – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x³ – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируем

x(x² – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x₁ = 1,

x² + x – 2 = 0, x₂ = – 2, x₃ = 1.

Ответ: x₁ = x₃ = 1, x₂ = – 2.

 

Пример 3.12. Решить уравнение

 

= – 2.

7(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

 

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 ¹ 0; x – 6 ¹ 0; 2x – 7 ¹ 0 или x ¹ – 2; x ¹ 6; x ¹ 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x² – 7x + 12) = (14 – 4x)(x² – 4x – 12), раскрываем скобки.

7x³ – 49x² + 84x – 14x² + 98x – 168 + 4x³ – 16x² – 48x – 14x² + 56x + 168 = 0,

11x³ – 93x² + 190x = 0,

x(11x² – 93x + 190) = 0,

x₁ = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

 

93±Ö(8649 – 8360) 93 ± 17

x_{2,3 =} =,

22 22

 

т.е. x₁ = 5; x₂ = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 5; x₃ = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x⁶ – 5x³ + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x³, тогда исходное уравнение принимает вид

y² – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y₁ = 1; Y₂ = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x³ = 1 или x³ = 4, т. е. X₁ = 1 или X₂ = ³Ö4

Ответ: 1; ³Ö4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x³ – 27) / (x – 3) = 27

 

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

(x – 3)(x² + 3x + 9) / (x – 3) = 27. Отсюда:

 

x² + 3 x + 9 = 27,

x – 3 ¹ 0;

x² + 3 x – 18 = 0,

x ¹ 3.

 

Квадратное уравнение x² + 3 x – 18 = 0 имеет корни X₁ = 3; X₂ = -6

(X1 не входит в область допустимых значений).

Ответ: -6

Пример 3.15. Решить уравнение

(x² + x –5) / x + (3x) / (x² + x – 5) = 4.

Решение. Обозначим y= (x² + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.

Преобразуем его: y + 3 / y – 4 = 0, (y² – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y² – 4y + 3 = 0,

y ¹ 0

Квадратное уравнение y² – 4y + 3 = 0 имеет корни Y₁ = 1; Y₂ = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).

Таким образом корни, исходное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупности уравнений

(x² + x – 5) / x = 1 или (x² + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x² + x – 5) / x – 1 = 0 или (x² + x – 5) / x – 3 = 0;

x² – 5 = 0,

x ¹ 0

или

x² – 2x – 5 = 0,

x ¹ 0;

 

X₁ = Ö5; X₂ = – Ö5 или X₃ = 1 + Ö6; X₄ = 1 – Ö6

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: Ö5; – Ö5; 1 + Ö6; 1 – Ö6.

 

Пример 3.16. Решить уравнение x(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение. Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x² + 5x + 6)(x² + 5x) = 72.

Обозначим y = x² + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, или

y² + 6y – 72 = 0.

Корни этого уравнения: Y₁ = 6; Y₂ = – 12.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x² + 5x = 6 или x² + 5x = – 12.

Первое уравнение имеет корни X₁ = 1; X₂ = – 6. Второе уравнение корней не имеет, так как D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

 

Пример 3.17. Решить уравнение 4x² + 12x + 12 / x + 4 / x² = 47.

Решение. Сгруппируем слагаемые: 4(x² + 1 / (x²)) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, при этом заметим, что

y² = (x +1 / x)² = x² +2 + 1 / (x²),

отсюда x² + 1 / (x²) = y² – 2. С учётом этого получаем уравнение

4(y² – 2) + 12y = 47, или 4y² + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корни Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 или x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 или x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x² – 5x + 2 = 0,

x ¹ 0

или

2x² + 11x + 2 = 0,

x ¹ 0;

 

X1 = 2; X2 = 1 / 2 или X3 = (- 11 + Ö105) / 4; X4 = (-11 - Ö105) / 4

(все найденные корни уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; (- 11 + Ö105) / 4; (-11 - Ö105) / 4.

 

Пример 3.18. Решить уравнение x³ – x² – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. “Кандидатами” в целочисленные корни (а только их есть надежда отгадать) являются числа

±1, ±2, ±3, ±6.

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.

Разделим многочлен x³ – x² – 9x – 6 на двучлен x + 2

 

x³ – x² – 9x – 6 = (x + 2)(x² – 3x – 3) = 0.

Решив теперь уравнение x² – 3x – 3 = 0,

получаем X₂ = (3 - Ö21) / 2, X₃ = (3 + Ö21) / 2.

Ответ: xÎ {-2; (3 - Ö21) / 2; (3 + Ö21) / 2}.

 

Пример 3.19.

x³ – x² – 8x + 6 = 0.

Решение. Здесь a_n = 1, a₀ = 6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x³ – x² – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x³ – x² – 8x + 6 = (x – 3)(x² + 2x – 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x – 3)(x² + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что x₁ = 3 — решение, найденное подбором, x_2,3 = – 1 ± Ö3 — из уравнения x² + 2x – 2 = 0.

Ответ: x₁ = 3; x_2,3 = – 1 ± Ö3.

 

Пример 3.20.

4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1 = 0.

Решение. Здесь a_n = 4, a₀ = –1. Поэтому рациональные корни уравнения следует искать среди чисел: ± 1; ± 0,5; ± 0,25 (делители 4 есть ±1; ±2; ±4, делители (– 1) есть ± 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 ¹ 0; если x = – 0,5, то

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень уравнения. Делим

(4x⁴ + 8x³ + x² – 3x – 1) на (x + 0,5):

Данное уравнение можно представить в виде: (x + 0,5)(4x³ + 6x² – 2x – 2) = 0.

Отсюда x₁ = – 0,5 (решение, найденное подбором) и 4x³ + 6x² – 2x – 2 = 0, т.е. 2x³ + 3x² – x – 1 = 0. Аналогично находим корень этого уравнения: x = – 0,5. Снова делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x² + 2x – 2) = 0. Отсюда x₂ = – 0,5 и x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

Ответ: x₁ = x₂ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

 

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x³ + 3x² – x – 1 = 0 следует:

2x³ + 3x² – x – 1 = 2x³ + x² +2x² + x – 2x – 1 = 2x²(x + 0,5) + 2x(x + 0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x² + 2x – 2) = 0.

x₁ = – 0,5; x_3,4 = (– 1 ± Ö5) / 2.

Возвратные уравнения.

Уравнение вида

a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … +a₁x + a₀ = 0

называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если

a_{n – 1} = a_k, при k = 0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0,

где a, b и c — некоторые числа, причём a ¹ 0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

— разделить левую и правую части уравнения на x². При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при a ¹ 0;

— группировкой привести полученное уравнение к виду

a(x² + 1 / x²) + b(x + 1 / x) + c = 0;

— ввести новую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t² = x² + 2 + 1 / x², то есть x² + 1 / x² = t² – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at² + bt + c – 2a = 0;

— решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения.

Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Рассмотрим, например, возвратное уравнение пятой степени

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + cx² + bx + a = 0

Легко видеть, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а потому по теореме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В результате такого деления получится возвратное уравнение четвёртой степени.

Довольно часто в процессе решения задач вступительных экзаменов возникают рациональные уравнения степени выше второй, которые не удаётся решить с помощью очевидной замены переменной. В этом случае попытайтесь отгадать какой-нибудь корень уравнения. Если попытка окажется успешной, то Вы воспользуетесь следствием 1 теоремы Безу и понизите на единицу степень исходного уравнения. “Кандидатов” в корни многочлена с целочисленными коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена этого многочлена. Если же попытка угадать корни не удалась, то, возможно, Вы избрали “не тот” метод решения, и существует иной метод, реализация которого не требует решения уравнения третьей или большей степени.

 

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n

имеет n различных корней X₁, X₂, …, X_n. В этом случае он имеет разложение на множители вида

a₀xⁿ + a₁x^{n – 1} + … + a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n).

Разделим обе части этого равенства на a₀ ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xⁿ + (a₁ / a₀)x^{n – 1} + … + (a_n / a₀) =

= xⁿ – (x₁ + x₂ + … +x_n)x^{n – 1} + (x₁x₂ +x₁x₃ + … +x_n-1x_n)x^{n – 2} +

+ … + (-1)ⁿx₁x₂…x_n.

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняются равенства

 

x₁ + x₂ + … + x_n = -a₁ / a₀,

x₁x₂ + x₁x₃ + … + x_{n – 1}x_n = a₂ / a₀,

_{…………………….}

x₁x₂× … ×x_n = (-1)ⁿa_n / a_0­.

 

Пример 5.22. Напишем кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x³ – 3x² + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корни заданного уравнения через x₁, x₂ и x₃. Тогда по формулам Виета имеем

s₁ = x₁ + x₂ +x₃ = 3,

s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 7,

s₃ = x₁x₂x₃ = – 5.

Корни искомого уравнения обозначим буквами y₁, y₂, y₃, а его коэффициенты — буквами b₁, b₂, b₃, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y₁ = x₁², y₂ = x₂², y₃ = x₃² и поэтому

b₁ = – (y₁ + y₂ + y₃) = – (x₁² + x₂² + x₃²),

b₂ = y₁y₂ + y₁y₃ + y₂y₃ = x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃²,

b₃ = – y₁y₂y₃ = – x₁²x₂²x₃² .

Но имеем

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ +x₃)² – 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = s₁² - 2s₂ = 3² – 2×7 = – 5,

x₁²x₂² + x₁²x₃² + x₂²x₃² = (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)² – 2x₁x₂x₃(x₁ + x₂ +x₃)= s₂² – 2s₁s₃ = = 7² – 2×3×(– 5)= 79,

x₁²x₂²x₃² = (x₁x₂x₃)² = s₃² = 25.

Значит, b₁ = 5, b₂ = 79, b₃ = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид

y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

Ответ: y³ + 5y² + 79y – 25 = 0.

 

Системы уравнений второй степени.

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример 6.23. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

 

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

 

y = 7 – 2x,

7x – 2x² = 6.

Квадратное уравнение – 2x² + 7x – 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

 

Пример 6.24. Решить систему уравнений

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

 

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений

a + 2b = 7,

b + 2a = 8

 

или

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

 

Отсюда

a = 3,

b = 2.

 

Возвращаясь к переменным x и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

 

y² – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1), (1; 2).

 

Пример 6.25. Решить систему уравнений

y² – xy = 12,

x² – xy = – 3.

 

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0) x – y = – 3 / x, т.е. y – x = 3 / x, и подставив его в первое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во второе уравнение последней системы, имеем

- 3x² = – 3, X₁ = 1; X₂ = – 1, тогда Y₁ = 4; Y₂ = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачу.

Задача. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16 м, а площадь равна 15 м².

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника буквами х и у. По условию задачи должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

 

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба уравнения системы обращает их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х² = 15 или

х² - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение: D = (-8)² - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,

Х_1,2 = (8 ± Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Значит, х₁ = 5, х₂ = 3. Поскольку у = 8 - х, то получаем у₁ = 3, а у₂ = 5. В обоих случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х² - 8х + 15 = 0 можно вывести быстрее, используя теорему, обратную теореме Виета: так как сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z² - 8z + 15 = 0.

Рассмотрим системы, состоящие из двух уравнений с двумя неизвестными. Если в одно из них какое-нибудь неизвестное входит лишь в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неизвестное через другое и подставить полученное выражение во второе уравнение системы. Получится уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим значения этого неизвестного, а потом по ним находим значения оставшегося неизвестного.

 

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2х + у = 11,

х² + у² = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и потому 5х2 - 44х + 68 = 0. Значит, для нахождения х надо решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,

Х_1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х₁ = 6,8; х₂ = 2, Þ у₁ = 11 - 2×6,8 = -2,6; у₂ = 11 - 2×2 = 7.

Ответ: х₁ = 6,8; у₁ = -2,6; х₂ = 2; у₂ = 7.

 

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

 

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1 / х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

 

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х² + 2х) - 3 / (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12 / у - 3 / (у - 2) = 1 или (у² - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,

откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = -3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

 

Пример 7.29. Решим систему уравнений

2 / х + 3 / у = 8,

5 / х - 2 / у = 1.

 

Решение. Обозначим 1 / х через U, а 1 / у через V. Тогда система примет вид

 

2U + 3V = 8,

5U - 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

 

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x² – 11x + 28)(x² – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x² – 11x + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t₁ = – 42; t₂ = 40. Поэтому

x² – 11x + 28 = – 42; x² – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x_1,2 Î Æ.

x² – 11x + 28 = 40; x² – 11x – 12 = 0; x₁ = 12; x₂ = – 1.

Ответ: x₁ = 12; x₂ = – 1.

 

Пример 7.31.

2x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 2 = 0.

Решение. Это возвратное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим

2x² + 3x – 16 +3 / x + 2 / x² = 0, т.е.

2(x² + 1 / x²) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x² + 2 + 1 / x² = t², т.е. x² + 1 / x² = t² – 2, получаем 2(t² – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t² + 3t – 20 = 0, t₁ = – 4; t₂ = 5 / 2 = 2,5. Следовательно, имеем

x + 1 / x = – 4; x² + 4x + 1 = 0; x_1,2 = –2 ± Ö3,

x + 1 / x = 2,5; 2x² – 5x + 2 = 0; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

Ответ: x_1,2 = –2 ± Ö3; x₃ = 2; x₄ = 1 / 2.

 

Пример 7.32.

(x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 16.

Решение. Сделаем подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)⁴ + (t + 1)⁴ = 16, т.е.

t⁴ – 4t³ + 6t² – 4t + 1 + t⁴ + 4t³ + 6t² + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t⁴ + 12t² – 14 = 0, или t⁴ + 6t² – 7 = 0. Положим t² = z ³ 0, тогда

z² +6z – 7 = 0, z₁ = – 7; z₂ = 1.

С учётом t² = z ³ 0 отбрасываем z₁. Итак, z = 1, т.е. t² = 1, отсюда t₁ = –1; t₂ = 1. Следовательно, x₁ = – 1 – 4 = – 5 и x₂ = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x₁ = – 5 и x₂ = – 3.

 

Пример 7.33.

13x / (2x² + x +3) + 2x / (2x² – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t² – 24t – 30, т.е.

6t² – 39t + 33 = 0, т.е. 2t² – 13t + 11 = 0,

t₁ = 1; t₂ = 5,5.

Следовательно:

2x + 3 / x = 1; 2x² – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x Î Æ.

2x + 3 / x = 5,5; 4x² – 11x + 6 = 0; x₁ = 2; x₂ = 0,75.

Ответ: x₁ = 2; x₂ = 0,75.

 

Пример 7.34.

x⁴ – 2x³ + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя в левой части уравнения x²:

x⁴ – 2x³ + x² – x² + x – 0,75 = 0, т.е.

(x² – x)² – (x² – x) – 0,75 = 0.

Пусть x² – x = t, тогда t² – t – 0,75 = 0, x₁ = – 0,5; x₂ = 1,5.

Возвращаясь к старой переменной, получаем:

x² – x = – 0,5; x² – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x Î Æ.

x² – x = 1,5; x² – x – 1,5 = 0; x_1,2 = (1 ± Ö7) / 2.

Ответ: x_1,2 = (1 ± Ö7) / 2.

 

Пример 7.35.

x² + 81x² / (9 + x)² = 40.

Решение. Воспользуемся формулой: a² + b² = (a – b)² + 2ab ((a - b)² = a² - 2ab + b²Þ Þ a² + b² = (a - b)² + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))² + 2x×9x / (9 + x) = 40, или

(x² / (9 + x))² + 18x² / (9 + x) = 40.

Пусть: (x² / (9 + x)) = t. Тогда t² + 18t – 40 = 0, t₁ = – 20; t₂ = 2. Получаем два уравнения:

(x² / (9 + x)) = 2; x² – 2x – 18 = 0; x_1,2 = 1 ± Ö19,

(x² / (9 + x)) = – 20; x² + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x Î Æ.

Ответ: x_1,2 = 1 ± Ö19.

 

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8х² - 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у². Получится уравнение

8х² / у² - 6ху / у² + у² / у² = 0 или 8х² / у² - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у. Уравнение примет вид

8U² - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1 / 2, либо x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2. Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö(5 / 17), x₄ = -Ö(5 / 17); соответственно y₃ = 4Ö(5 / 17), y₄ = - 4Ö(5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же — она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на y^k (если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

 

Пример 8.37. Решить систему уравнений

y² - xy = -12,

x² - xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если умножить первое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно второе уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y² - 10xy + 3x² = 0, являющееся следствием исходной системы. Разделим обе части уравнения на x² и решим уравнение 7U² - 10U + 3 = 0 (здесь U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x или y = 3x / 7. Подставляя это выражение во второе уравнение и, рассмотрев оба случая, найдём решения:

x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = -7, y₂ = -3.

Ответ: x₁ = 7, y₁ = 3; x₂ = -7, y₂ = -3.

 

Мы получили решения системы путём выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению “посторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

 

Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)⁴ + 9(x + 1)⁴ = 10(x² - 1)².

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неизвестные U и V:

U = (x - 1)², V = (x + 1)².

Уравнение примет вид U² + 9V² = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V² оно становится уравнением относительно неизвестного W:

W = U / V = (x - 1)² / (x + 1)².

Решим вспомогательное уравнение

W² - 10W + 9 = 0.

Его корни W₁ = 1, W₂ = 9. Осталось решить уравнения

(x - 1)² / (x + 1)² = 1 и (x - 1)² / (x + 1)² = 9.

Из первого уравнения следует, что либо (x - 1) / (x + 1) = 1, либо (x - 1) / (x + 1) = -1.

Из второго получаем, что либо (x - 1) / (x + 1) = 3, либо (x - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, видим, что первое из них не имеет корней, а из трёх остальных получаем x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = -0,5.

Ответ: x₁ = 0, x₂ = - 2, x₃ = -0,5.

 

Пример 8.39.

3(x² – x + 1)² – 5(x + 1)(x² – x + 1) – 2(x + 1)² = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay^2a + by^az^a + cz^2a = 0,

где a, b, c, a — заданные числа, отличные от нуля; y = y(x), z = z(x) — некоторые функции от x. Разделим обе части уравнения на (x² – x + 1)² ¹ 0: