Метод электромеханических аналогий

Введение

Электроакустическая аппаратура состоит из механических элементов: пластин, мембран, труб и т.п., которые обладают массой m, гибкостью С_М, потерями энергии на трение, и электрических элементов: катушек, конденсаторов, трансформаторов, резисторов. В процессе работы устройства эти элементы взаимодействуют.д.ля описания этого процесса приходится составлять и решать систему уравнений, содержащую уравнения механики и теории электричества. Решение системы уравнений получается громоздким.

Для упрощения решения таких задач был разработан метод электромеханических аналогий, который позволил свести анализ механических устройств к анализу эквивалентных электрических схем. Математический аппарат для анализа электрических цепей хорошо разработан и известен радиоинженерам.

Метод электромеханических аналогий

Рассмотрим механическую систему, состоящую из груза, масса которого , подвешенного на пружине с гибкостью к неподвижному основанию. Под действием силы груз может перемещаться в направляющих, испытывая силу трения, определяемую коэффициентом трения . Требуется описать движение груза.

В любой момент времени сила, действующая на груз, должна уравновешиваться силой инерции:

,

где - скорость колебаний, - сила трения, - сила упругости пружины. Полагая, что сила трения пропорциональна скорости, а сила упругости - величине деформации х, получим:

. (1)

Напишем уравнение для последовательного электрического контура:

,

т.к , то:

. (2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что это - одинаковые уравнения, отличающиеся только обозначениями. Зная решение одного из уравнений, можно написать решение другого, просто изменив обозначения на эквивалентные в соответствии с таблицей 1.

Таблица 1.

Электрические величины	Механические величины
Величина	Ед. изм.	Обозначение	Величина	Ед. изм.	Обозначение
Э. д. с., напряжение	Вольт		Сила	Ньютон
Сила тока	Ампер		Скорость	м/с
Заряд	Кулон		Смещение	м
Индуктивность	Генри		Масса	кг
Ёмкость	Фарада		Гибкость	м/Н
Активное сопротивление	Ом		Коэффициент трения	мехом
Энергия магн. поля	Дж		Кинет. энергия	Дж
Энергия электр. поля	Дж		Потенц. энерг.	Дж

По аналогии можно написать "закон Ома" для механической цепи:

(3)

Величину можно рассматривать, как полное сопротивление механической цепи. Единица измерения механического сопротивления получила название "мехом" и имеет размерность кг/с.

Для того, чтобы упростить процедуру построения электрических схем, эквивалентных механическим устройствам, разработаны правила (алгоритм) построения таких схем. Рассмотрим один из возможных алгоритмов.

Дана конструкция устройства (см. рис.1 а).

Строим кинематическую схему устройства, используя обозначения, приведенные в таблице 1 (см. рис.1 b).

Строим структурную схему устройства. Для этого заменяем все условные обозначения прямоугольниками, силу F (t) изображаем, как двухполюсник (см. рис.1 с).

Соединяем все прямоугольники линией другого типа (например, пунктирной) или другого цвета так, чтобы она не пересекала линии связи и не охватывала неподвижные элементы схемы (см. рис.1. с).

Рассматриваем пунктирную (или цветную) линию как проводник эквивалентной электрической схемы, а прямоугольники заменяем обозначениями соответствующих элементов электрической схемы (см. рис.2). Получаем эквивалентную электрическую схему.

Рисунок 2. Эквивалентная электрическая схема груза, подвешенного на пружине.

Заметим ещё, что электрическим эквивалентом рычага является трансформатор, коэффициент трансформации которого .

Используя методы теории цепей, находим токи и напряжения на элементах схемы. Они определят скорости и силы в механическом устройстве.

В электроакустических устройствах часто встречаются трубопроводы различного сечения. В этом случае использование скорости колебаний как аналога электрического тока неудобно, т.к при изменении площади сечения трубопровода скорость изменяется скачком. В этом случае удобно ввести понятие объёмной скорости v_об = , где S - площадь сечения трубопровода. Вместо силы, как аналог напряжения, принимают давление р. Тогда:

и акустическое сопротивление:

Эти соотношения лежат в основе метода электроакустических аналогий.

В акустических устройствах наряду с механическими встречаются акустические колебательные системы. Примером может служить резонатор Гельмгольца. Он представляет собой полость, соединенную с окружающим пространством через горловину. Если размеры резонатора меньше длины волны, то его можно рассматривать как систему с сосредоточенными параметрами. Воздух в горловине - сосредоточенная масса, упругость воздуха в полости подобна пружине. Определим гибкость этой "пружины". Процесс в резонаторе протекает адиабатически (без теплообмена с окружающей средой), тогда:

Или

Представим правую часть выражения в виде ряда и, ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим:

или

где S - площадь сечения горловины, ξ - смещение. Далее, умножив правую и левую часть равенства на S, получим:

(4)

И, наконец, заметим, что труба, площадь сечения которой изменяется скачком с S₁ на S₂, является трансформатором с коэффициентом трансформации