Признак перпендикулярности двух плоскостей

Аксиомы стереометрии

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости параллельны, если они не пересекаются.

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны: l || π (рис 1);

2. прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т.е. пересекаются: l ∩ π (рис 2);

3. прямая лежит в плоскости: l π (рис 3).

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. прямые пересекаются, т.е. имеют только одну общую точку (рис 1);

2. прямые параллельны, те лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис 2);

3. прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости (рис 3).

Теорема о плоскостях, проходящих через скрещивающиеся прямые: через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Угол между пересекающимися прямыми - меньший из углов, образованных этими прямыми.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей: 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна клюбой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Признак перпендикулярности прямой и плоскости)

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребраперпендикулярны к основанию, а снования представляют собой прямоугольники.

Свойства:

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда –прямые.

3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.