Приближенные методы решения задач квантовой механики

ЗАДАНИЕ 2

Формализм углового момента

1. Для частицы со спином ½ найти собственные значения и собственные функции операторов , и соответственно.

2. Определите вид матриц операторов , , , , , для случая в представлении собственных функций оператора . Определите собственные векторы и собственные значения матриц , , , .

3. Определите среднее значение проекции момента на направление единичного вектора в состоянии , где есть проекция момента на ось .

4. Найти средние значения величин , , в состояниях , где а) , ; б) , ; в) , ; г) , .

5. Найти дисперсии величин , , в состояниях а) , ; б) , ; в) , .

6. Доказать соотношение , где - матрица Паули, - произвольный вещественный параметр, - единичная матрица.

7. Покажите, что любую матрицу второго порядка можно разложить по четырем линейно независимым матрицам: (единичная матрица), , и (матрицы Паули).

8. Частица находится в состоянии . Определите вероятности различных значений проекции момента на направление, составляющее угол с осью .

9. Получить явный вид операторов в прямоугольных декартовых, сферических и цилиндрических координатах.

Приближенные методы решения задач квантовой механики

10. Вариационным методом найти энергию основного и первого возбужденного уровней частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме, аппроксимируя собственные функции гамильтониана простейшими полиномами, удовлетворяющими требуемым условиям (граничные условия, условие нормировки, ортогональность волновых функций основного и первого возбужденного состояний).

11. Используя вариационный метод, найдите энергию основного состояния атома гелия. Оба электрона находятся в 1s-состоянии. Пробную функцию для вариационного расчета выберите в виде , где a - вариационный параметр, r₁₍₂₎ – расстояние между 1 (2) электроном и ядром. Ядро считайте бесконечно тяжелым.

12. Показать, что поправка первого порядка к энергетическим уровням частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме для непрерывного гладкого возмущения не зависит от n при n>>1.

13. Для заряженного линейного осциллятора найти сдвиги энергетических уровней в однородном электрическом поле, направленном вдоль оси колебаний, в первых двух порядках теории возмущений. Гамильтониан невозмущенного осцилллятора , оператор возмущения . Сравнить результат с точным решением этой задачи (можно получить из решения для невозмущенного осциллятора заменой переменных).

14. На двухуровневую систему (уровни невырожденные, их энергии e₁ и e₂) накладывается возмущение, характеризуемое матричными элементами V₁₁, V₂₂, V₁₂ = V₂₁* между исходными невозмущенными состояниями 1 и 2. Найти вид матрицы возмущенного гамильтониана в энергетическом представлении (представлении собственных функций невозмущенного гамильтониана .

15. Найти сдвиги уровней в первых двух порядках теории возмущений, указать условия применимости полученных результатов и сравнить их с точными. Точные результаты можно получить, используя результат задачи 3.

16. Вычислить в первом приближении теории возмущений сдвиг энергетического уровня основного состояния водородоподобного атома или иона, обусловленный неточечностью ядра.

17. Вычислите в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния двухэлектронного атома или иона с зарядом ядра Z, принимая в качестве возмущения взаимодействие электронов между собой. Указание: воспользуйтесь формулой

Кроме того, учтите соотношения ортогональности: .

18. Найдите в низшем неисчезающем порядке теории возмущений поправки к энергетическим уровням линейного гармонического осциллятора, обусловленные возмущением вида а) ; б) , где a - некоторая константа. Получите условие малости поправок с сравните его с классическим условием ангармоничности колебаний.

19. Система обладает только двумя стационарными состояниями 1 и 2 с энергиями и , . В момент времени t = 0, когда система находилась в основном состоянии, было включено не зависящее от времени возмущение W. Вычислить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени t.

20. Гамильтониан системы зависит от некоторого параметра l так, что , где и от l уже не зависят. Покажите, что , где Е₀(l) – основной уровень этого гамильтониана.

21. Гамильтониан системы, состоящей из двух подсистем, имеет вид , где и - координаты первой и второй подсистем, - оператор взаимодействия между подсистемами. Считая характерные частоты 1-й («быстрой») подсистемы много большими характерных частот 2-й («медленной») подсистемы, свести задачу приближенного вычисления энергетических уровней и соответствующих им волновых функций совокупной системы к решению уравнений Шредингера для отдельных подсистем. На основе полученных результатов в первом порядке адиабатического приближения исследуйте основное состояние молекулярного иона , состоящего из двух протонов и одного электрона.

22. Определить в борновском приближении амплитуду рассеяния, дифференциальное и полное сечение рассеяния в полях а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) . Здесь , . Исследовать предельные случаи медленных и быстрых частиц. Указать условия применимости результатов. Рассматривать случай .

23. Определить в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения частицы под потенциальным барьером при условии , где - энергия частицы, - высота барьера.

24. Частицы падают на потенциальный барьер при условии . Определить в квазиклассическом приближении вероятность отражения частиц от барьера.

При расчетах можно использовать MathCad и др.