Изгиб прямого бруса
I. Прямой изгиб: чистый и поперечный.
Прямым чистым изгибом называют такой вид нагру-жения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент.
Если кроме изгибающего момента возникает попе-речная сила, то имеет место прямой поперечный изгиб.
Брусья, работающие на изгиб, называют балками.
На расчетной схеме балку принято заменять её осью.
II. Определение поперечных сил и изгибающих моментов.
1. Поперечная сила Qy в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме значений внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от
сечения, при этом силам, поворачивающим относительно
сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрел-
ки, приписывается знак плюс, а силам, поворачивающим
относительно сечения оставленную часть балки против
хода часовой стрелки, приписывается знак минус.
2. Изгибающий момент МX в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно той точки оси бруса,через которую проходит сечение. При этом внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывается знак “плюc ”, а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх – знак “ минус ”.
III. Дифференциальные зависимости между MX, QY и q.
1. Производная от изгибающего момента по
длине балки равна поперечной силе.
= Q
2. Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности равномерно распределённой нагрузки, взятой с обратным знаком.
= - q
3. Если MX = const, то Q = 0.
Если Q = const, то q = 0, а MX – изменяется
по линейному закону, причем:
при QY > 0 MX возрастает;
при QY < 0 MX убывает.
4. Если QY изменяется по линейному закону,
то MX изменяется по параболическому закону.
Чистый изгиб
I. Нормальные напряжения.
При чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения.
Допущения:
1) перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остаётся и после изгиба плоским и нормальным к оси бруса;
2) продольные волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга.
При чистом изгибе поперечные сечения поворачиваются и продольные слои бруса у выпуклой части бруса удлиняются, а у вогнутой – укорачиваются.
Нейтральный слой – слой, у которого первоначальная длина не изменилась.
Продольная деформация:
ε = 
,
где у – расстояние от произвольного слоя до нейтрального;
ρ – радиус кривизны.
Согласно закону Гука:
σ = Е · ε = 
.
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорционально её расстоянию “ у ” от нейтральной оси.
Линия пересечения нейтрального слоя с
поперечным сечением называется нейтральной осью (НО).
Нейтральная ось совпадает с центральной осью Х.
- кривизна изогнутой оси бруса, характеризующая
деформацию изгиба;
Е · JX – жесткость сечения бруса при изгибе.
σ = 
- эта формула приемлема при поперечном изгибе.
Расчеты на прочность при прямом изгибе
Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях.
Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых.
Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.
Значения максимальных напряжений в опасных точках:
max σр = 
, max σC = 
,
где у1 и у2 – расстояния от нейтральной оси до наиболее
удалённых точек соответственно в растянутой и
сжатой зонах сечения.
При расчетах балок из хрупкого материала (например закалённая сталь, чугун, текстолит и др.) используются два условия прочности:
для растянутой зоны: max σp = ≤ [σp];
для сжатой зоны: |max σC| = ≤ [σc].
При расчете балок из пластичных материалов
(низкоуглеродистая сталь, цветные металлы и др.)
допускаемые напряжения растяжения и сжатия одинаковы:
[σ] = [σс] = [σр]
Для симметричных сечений относительно центральных осей:
max σ p = max |σ c| = σ max = 
или σmax = MX · 
WX = 
- момент сопротивления сечения при изгибе.
Для прямоугольного сечения, размеры которого b·h:
WX = 
.
Для круглого сечения: WX = 
.
Наибольшие напряжения растяжения или сжатия в симметричном относительно нейтральной оси сечения:
σmax = 
Условие прочности балки из пластичного материала:
σmax = ≤ [σ].
Три вида расчетов на прочность:
1. Проектный расчет.
Приняв σmax = [σ], по изгибающему моменту MX в опасном сечении находим требуемое значение момента сопротивления:
WX ≥ 
Затем, исходя из принятой формы поперечного сечения, находят его размеры.
2. Расчет допускаемой нагрузки.
[MX] ≤ WX · [σ].
3. Проверочный расчет:
а) определяем MXmax;
б) определяем WX;
в) рассчитываем σmax = ;
г) сравниваем σ ≤ [σ].