1. История науки. Предмет теории вероятностей.
2. Испытания и события. Виды случайных событий.
3. Классическое и статистическое определения вероятности.
4. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей.
5. Геометрические вероятности.
6. Теорема сложения вероятностей.
7. Теорема умножения вероятностей.
8. Вероятность появления хотя бы одного события.
9. Формулы полной вероятности.
10. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.
11. Повторение событий. Формула Бернулли.
12. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины.
13. Закон распределения дискретных случайных величин. Мода и медиана дискретной СВ.
14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
15. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
16. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
17. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства. Плотность вероятности.
18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
19. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Правило трех сигм.
20. Показательное распределение. Числовые характеристики показательного распределения.
Задачи:
1. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.
2. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: A – появление четного числа очков; B – появление не менее 5 очков; C – появление не более 5 очков.
3. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий: A – все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; B – две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три – в другую.
4. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слов «морс».
5. Из урны, содержащей a белых и b черных шаров, вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет, вынут белый шар.
6. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и разложенных «в одну линию» кубков можно прочесть слово «спорт».
7. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка пустая, выстрела не происходит. А) Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим. В) Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза выстрелим.
8. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.
9. Являются ли несовместными следующие события: Опыт – вынимание двух карт из колоды; события: C1 – появление двух черных карт; C2 – появление туза; C3 – появление дамы.
10. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже черный.
11. Бросают одновременно две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: A – сумма выпавших очков равна 8; B – произведение выпавших очков равно 8; C – сумма выпавших очков больше, чем их произведение.
12. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешиваются. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слов «трос».
13. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 20 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 10 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий: A – все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу; B – две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три – в другую.
14. Из урны, содержащей a белых и b черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белый.
15. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.
16. а) Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «книга»; б) тот же вопрос, если было составлено слово «ананас».
17. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
18. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя за время t.
19. Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые - не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего. По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый из самолетов, независимо от других, сбивается с вероятностью р. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразят объект с вероятностью Р1,2. Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью Р1,1. Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью Р1,0. Если ведущий самолет сбит, то каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью P0,1. Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия.
20. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна р1, второго р2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.
21. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе – с вероятностью 0,95; третье – с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно все четыре испытания.
22. Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
23. Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна р1, второго – р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.
24. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p1, второй – с вероятностью р2. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано первым контролером.
25. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй - 0,9, третий - 0,8. Вычислить вероятность того, что хотя бы два экзамена будут сданы.
26. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трех частей, площади которых равны S1, S2, S3 (S1+S2+S3=S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью р1; во вторую часть – с вероятностью р2; в третью – р3. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попал один снаряд.
27. Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.
28. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p1, второй – с вероятностью р2. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано вторым контролером.
29. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе – с вероятностью 0,95; третье – с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно ровно два испытания (из четырех).
30. Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
31. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут поражены, а третья нет.
32. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью p1, второй – с вероятностью р2. Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано ОТК завода.
33. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе – с вероятностью 0,95; третье – с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно не менее двух испытаний (из четырех).
34. Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A происходит с вероятностью p. Найти вероятности pn(k), где k=0,…,n, того, что событие A появится ровно k раз. Найти моду Mo(X), где X – случайная величина, равная числу появлений события A (n = 12; p = 0,43).
35. Дискретная случайная величина X имеет такую таблицу распределения:
| Значение X | ||||
| Вероятность | 1/5 | 1/7 | p3 | 1/6 |
Найти p3, функцию распределения F(X), построить ее график. Найти моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
36. Пользователь забыл последний символ в пароле набирает ее наугад. Определить вероятность того, что он наберет правильный пароль не более, чем с трех попыток. Символ может быть любым из 64-х различных.
37. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны Р1=0,2; Р2=0,4; Р3=0,3.
38. Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями, соответственно равными 2/3, 3/4 и 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность того, что утка будет подбита?
39. Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы одни из трех последовательно соединенных элементов. Определять вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,2; 0,7 и 0,5.
40. Два хакера поочередно взламывают систему до первой успешной попытки. Вероятность для первого хакера 0,2, а для второго – 0,3. Найти вероятность того, что первый хакер сделает больше попыток чем второй.
41. В группе 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого первая в списке, окажется девушкой?
42. Группа состоит из 7 студентов экономического, 9 - радиотехнического, 6 - механического и 2 - авиационного факультетов. Какова вероятность того, что 3 первых студента, явившихся на экзамен, окажутся студентами радиотехнического факультета?
43. Вероятность получения хотя бы однократного доступа к системе после четырех попыток равна 0,0016. Найти вероятность получения доступа после одной попытки.
44. а) Каждая из букв т, м, р, о, ш написана на одной из пяти карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово «шторм»? б) Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Перемешаем карточки, затем, вытаскивая их наудачу, кладем в порядке вытаскивания. Какова вероятность того, что при этом получится слово «море»?
45. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым — 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.
46. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй - 0,9, третий - 0,8. Вычислить вероятность того, что хотя бы два экзамена будут сданы.
47. Отказ локальной компьютерной сети может произойти вследствие выхода из строя элемента K или двух элементов K 1и K 2 которые выходят из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,3, 0,2, 0,2 соответственно. Определить вероятность отказа сети.
48. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.
49. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июля будут ясными. (Считать, что погода в данный день не зависит от погоды в другие дни.)
50. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсменов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов попадет в сборную.
51. Плотность распределения вероятности некоторой случайной величины дается соотношением:
Найти функцию распределения и числовые характеристики. (Здесь мы имеем делю с равномерным законом распределения. Так называется закон с функцией распределения, линейно изменяющейся от 0 до 1 в некотором интервале (а, b) и равной 0 левее точки а и 1 правее b).
52. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.
53.Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился «герб», «появилось 6 очков».
54. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них
3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого
ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того,
что обе детали окажутся стандартными.
55. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой
камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна
p = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена
хотя бы одна камера (событие А).
56. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей (событие А)?
57. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем
из них 86% — первого сорта. Найти вероятность того, что взятое
наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.
58. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем изоставшихся четырех — вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будетвыбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) воба раза.
59. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в
десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы
с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?
60. Три электрические лампочки последовательно включены в
цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если
напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.
61. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз
при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность
появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).
62. Три команды А1, А2, А3 спортивного общества А состязаются
соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что
команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы:
при встрече А1 с B1 – 0,8; А2 с В2 – 0,4; А3 с B3 – 0,4. Для победы
необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?
63. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном
выстреле равна 0,8, а вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность
того, что цель будет поражена только одним стрелком.
64. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
65. База данных разбита на 5 областей, каждая из них имеет различный уровень защиты, вероятности их преодоления приведены в таблице.
| № области БД k= | |||||
| Вероятности преодоления защиты τ k | 0.10 | 0.06 | 0.03 | 0.15 | 0.08 |
Взломщик информации (хакер), начиная свой трудовой день, решает обратиться к любой из областей с одинаковой вероятностью. Чему равна вероятность того, что, обратившись к 4-й области, он получит к ней доступ?
66. Имеется партия из большого числа N изделий. Для контроля качества всей партии отбирают по одному n изделий, проверяют их, и при отсутствии среди них дефектных изделий всю партию принимают; если же хотя бы одно из n проверенных изделий окажется дефектным, то всю партию бракуют. Требуется вычислить вероятность того, что партия, содержащая М дефектных изделий, будет принята при такой методике проверки.