ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА

Министерство образования и науки Украины

 

Донецкий политехнический техникум

 

 

Кафедра физики

Реферат:

 

 

Акустические свойства полупроводников

 

Выполнил: Филенко М.С.

 

Проверил: Семенов А.И.

 

 

Донецк, 2002

 

План

1. КАК УСТРОЕН ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОЛУПРОВОДНИК

2. ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫПРИ УСИЛЕНИИ ЗВУКА

4. УСИЛЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ШУМОВ И СВЯЗАННЫЕ С ЭТИМ ЯВЛЕНИЯ

5. ЗВУКОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

6. Заключение

 

КАК УСТРОЕН ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ

ПОЛУПРОВОДНИК

Мы уже говорили, что в полупроводниках имеет смысл изучать в первую очередь те акустические эффекты, которые обусловлены взаимодействием звука с электронами проводимости. Ведь именно небольшое число электронов проводимости отличает полупроводник от диэлектрика. Типичные концентрации электронов в тех случаях, которые нас будут интересовать, составляют 10¹¹ - 10¹⁶ см^-3.

Рассмотрим акустические эффекты только в одном типе полупроводников, а именно в пьезоэлектрических полупроводниках. Акустические эффекты в них наибо­лее ярко выражены, лучше и подробнее всего исследо­ваны.

Пьезоэлектрики - это такие кристаллы, в которых под влиянием однородной деформации возникают дипольный момент, а значит, и электрическое поле, пропорциональные деформации. Наличие пьезоэлектрических свойств тесно связано с симметрией кристалла. Пояс­ним это на модели ионной решетки, изображенной на рис. 1,а. На этом рисунке положительные попы закрашены. а отрицательные изображены светлыми кружка­ми. Видно, что если эту решетку подвергнуть однород­ной деформации, то она не поляризуется (рис. 1,б). Рассмотрим теперь решетку, изображенную на рис, 2,а. Если эту решетку подвергнуть деформации растяжения в направлении, указанном стрелкой, то она поляризует­ся, поскольку «центры тяжести» положительных и отри­цательных ионов при этом сдвигаются друг относитель­но друга (рис. 2, б, в). Наоборот, если поместить такую решетку в однородное электрическое поле, она деформируется. Деформация кристалла, пропорциональная приложенному электрическому полю, называется прямым пьезоэлектрическим эффектом; возникновение электри­ческой поляризации при деформации — обратным пье­зоэлектрическим эффектом.

 

 

Пьезоэлектрический эффект существует в целом ряде полупроводников — CdS, Zn0, GaAs, InSb, Те и др. Большинство опытов, в особенности на первом эта­пе, было проведено на CdS — этот полупроводник яв­ляется довольно сильным пьезоэлектриком и в то же время фотопроводником (т. е. изменяет свою проводи­мость при освещении). Поэтому в нем, как уже говорилось, легко можно отделять электронные эффекты.

Если в пьезоэлектрике распространяется звук, т. е. волна деформации, то она сопровождается электриче­скими полями, обладающими пространственной и вре­менной периодичностью звуковой волны. Эти поля про­дольные, т. е. параллельные направлению распростра­нения звука. Можно сказать, что в пьезоэлектриках всякая звуковая волна сопровождается волной продоль­ного электрического поля (мы его будем называть пьезоэлектрическим полем). В качестве оценки напря­женности этих полей можно привести следующую циф­ру: при распространении звука в таком сильном пьезо­электрике, как CdS, при плотности потока звуковой энергии S порядка 1 Вт/см² амплитуда напряженности переменного поля может достигать нескольких сотен вольт на сантиметр.

Выясним теперь, как влияет пьезоэлектрический эф­фект на распространение звука в пьезодиэлектриках. Пусть продольный или поперечный звук распространя­ется в пьезодиэлектрике вдоль оси симметрии кристал­ла, которую назовем осью ОХ. Деформация в такой волне характеризуется величиной du/dx, где и{х) — смещение точки кристалла в звуковой волне. В непьезоэлектрическом кристалле при такой деформации воз­никает упругое напряжение S:

 

S = λ du/dx

 

 

где К — модуль упругости. Это соотношение выража­ет известный закон Гука. В пьезоэлектрике, как мы ви­дели, при деформации возникает дипольный момент, на который действует электрическое поле Е. В резуль­тате при наличии поля Е в пьезоэлектрнке упругое на­пряжение равно:

S = λ du/dx + βE (1)

где β — так называемый пьезоэлектрический модуль. Кроме того, при деформации в пьезоэлектрике возника­ет дополнительная поляризация. Соответственно в обычном соотношении, связывающем электрическую ин­дукцию D с напряженностью поля Е (D=εE, где ε — диэлектрическая проницаемость), появляется допол­нительный член — 4лβ du/dx.

Для вычисления скорости звука в пьезодиэлектрике достаточно соотношение (1) и соотношение между D и Е подставить в уравнение теории упругости:

ρ d²u/dt² = ds/dx

(ρ — плотность кристалла) и в уравнение Пуассона dD/dx = 0 (диэлектрик!). В результате несложных преобра­зований получается величина:

ω_d = √ λ ⁄ ρ * (1 + χ)½, χ = 4πβ²/ελ (2)

 

Первое слагаемое в выражении для ω_d дописывает вклад от близкодействующих упругих сил, которые су­ществуют и в непьезоэлектриках. Второе обусловлено.дополнительными квазиупругими силами, связанными с пьезоэлектрическими полями. Таким образом, роль пьезоэлектрического эффекта определяется величиной χ, которую мы назовем коэффициентом пьезоэлектриче­ской связи. В большинстве известных пьезоэлектриче­ских полупроводников χ не превышает 0,1. Поэтому ве­личину χ можно считать малым параметром теории, что мы и будем делать в дальнейшем. Так, вместо (2) имеем:

ω_d = ω₀(1 + χ/2), ω₀ = √ λ ⁄ ρ

 

Обратимся теперь к пьезополупроводникам. Как взаимодействуют электроны проводимости с пьезоэлек­трическим полем? Предположим сначала, что звук «замер» — созда­на периодическая в пространстве статистическая де­формация:

u(x) = u₀ cos qx.

 

В пьезодиэлектрике из уравнения Пуассонамысразу бы получили: E = 4πβ du/dx ε. Электрический потенциал поля φ был бы при этом равен (Е = — dφ/dx).

 

φ₀ = 4πβu / ε

А что будет с электронами в полупроводнике? Они перераспределятся в пространстве, стремясь стечь с по­тенциальных «горбов» и заполнить потенциальные «ямы». При этом уменьшится первоначальный потенциал (φ₀, или, как говорят, произойдет его экранирование электронами проводимости. Поэтому первый вопрос, который следует решить: как перераспределяются электроны в поле потенциала и каким образом они его бу­дут экранировать? Для решения этого вопроса следу­ет выяснить, как нужно описывать движение электро­на в поле звуковой волны. Это существенно зависит от того, какова величина соотношения между длиной звуковой волны 2л/q и длиной l свободного пробега электронов — какова величина параметра ql. Этот па­раметр играет центральную роль в теории акустических свойств проводников; при различных его значениях электроны по-разному взаимодействуют со звуком. Обычно в пьезоэлектрических полупроводниках ql «1, поэтому пока ограничимся рассмотрением этого слу­чая. В чистых металлах при низких температурах мо­жет выполняться противоположное неравенство. Об этом пойдет речь в следующей главе.

Условие ql «1 означает, что на расстояниях поряд­ка длины звуковой волны электрон успевает много раз столкнуться. В процессе столкновений устанавливается равновесное распределение электронов — электроны лишены индивидуальности, и их можно описывать как объемный заряд, характеризуемый электропроводно­стью о и коэффициентом диффузии D. В результате плотность тока j можно записать в виде:

j = σ (- dφ/dx) – e D dn/dx

 

где n — концентрация электронов. В стационарном состоянии плотность тока j в отсутствие внешнего электрического поля должна обращаются в нуль. Потому

n – n₀ = - σφ / e D,

 

где n₀ - равновесная концентрация электронов. Если это выражение подставить в уравнение Пуассона, имеющее в полупроводнике вид:

 

dD/dx = 4π(n – n₀)e,

 

и использовать выражение для D, то сразу получим:

 

φ = φ₀ (qR)² / (1 + ((qR)²) (3)

 

Здесь - радиус экранирования Дебая — Хюккеля, равный

 

R = √ εD/4πσ = √ ε κ Τ/4πe²n₀ (4)

 

(Τ — температура, κ — постоянная Больцмана).

Таким образом видно, что степень экранирования пьезоэлектрнческого потенциала определяется соотно­шением между длиной волны 2π/q и радиусом экрани­рования R.. Обычно говорят о дебаевском экранирова­нии, когда речь идет, например, о кулоновском поле иона: поле «голого» заряда 1/r в результате экраниро­вания приобретает вид: 1/r ехр(- r / R), В данном же

случае речь идет об экранировании пространственно-периодического потенциала. При qR «1 устанавлива­ется почти полное экранирование, и φ «φ₀. Наоборот при qR »1 перераспределение электронов в простран­стве почти не реагирует на коротковолновый звук. Со­отношение (3) можно понять еще и следующим обра­зом. В стационарном состоянии имеет место равнове­сие тока проводимости (вызванного наличием поля) и диффузионного тока (вызванного перераспределением электронов в пространстве). Поэтому электроны пере­распределяются тем в большей степени, чем больше от­ношение электропроводности к коэффициенту диффу­зии (т. е. чем меньше R при заданной величине q). В свою очередь, чем больше электронов перераспредели-

лось в пространстве, тем более эффективно экранирование затравочного потенциала φ₀.

Приведем характерные значения радиуса экраниро­вания в типичных случаях. В CdS при комнатной температуре и n₀ = 10¹² см^-3 R = 5 * 10^-4 см: при n₀ =10¹⁴ см^-3 R = 5 * 10^-5 см.

Учтем теперь, что бегущая звуковая волна не стоит на месте, а распространяется по кристаллу, создавая электрическое поле, меняющееся в каждой точке кри­сталла с частотой звука ω². Поэтому возникает вопрос, за какое же время устанавливается статическая кар­тина экранирования, описанная выше. Таким характерным временем является максвелловское время ре­лаксации:

 

τ = ε/4πσ

 

Оно обратно пропорционально электропроводности σ, что естественно: ведь именно благодаря процессам электропроводности электроны проводимости могут перераспределяться в пространстве.

Если величина ωτ мала, то за период звука статиче­ское экранирование успевает установиться почти пол­ностью, и картина пространственного распределения электронов мало отличается от той, которая была бы в статическом случае. При этом, как мы видели, потен­циал φ отличается от φ₀ множителем (qR)² [1 + (qR)² ]^-1.Такой же множитель должен появиться и в слагаемом, описывающем вклад в скорость звука за счет пьезоэлектрического эффекта:

 

ω = ω₀ [1 + χ (qR)² /2 (1 + (qR)²)]

 

В обратном предельном случае, когда ω_τ »1, экранирование не успевает установиться, и скорость звука в полупроводнике равна ω _d.

ПОГЛОЩЕНИЕ И УСИЛЕНИЕ ЗВУКА

 

При распространении бегущей звуковой волны пространственное распределение электронов стремится следовать за пространственным распределением пьезоэлектрического потенциала. Соответственно пере­менные пьезоэлектрические поля порождают перемен­ные электронные токи, которые и «подстраивают» рас­пределение электронов к распределению потенциала. При протекании этих токов в проводнике должно вы­деляться джоулево тепло. В результате при распространении звука механическая энергия звуковой волны переходит в энергию беспорядочного теплового дви­жения, т. е. происходит поглощение звука. Интенсив­ность поглощаемого звука изменяется по закону:

 

S (х) =S (0) ехр(- Гх),

где S(0) — интенсивность «на входе» кристалла. Вели­чина Г называется коэффициентом поглощения звука.

Для отношения коэффициента поглощения звука Г к величине его волнового вектора q можно получить следующее выражение:

 

Г / q = χωτ/((1 + q²R²)² + (ωτ) ²) (5)

 

Частотной зависимости этого выражения можно дать следующее наглядное объяснение.

Переменный ток, создаваемый пьезоэлектрическим почтем, вызывает перераспределение свободных заря­дов. Перераспределенные заряды, в свою очередь, соз­дают добавочное электрическое поле. Оно, как уже го­ворилось, направлено противоположно первоначально­му электрическому, полю и, следовательно, приводит к уменьшению тока проводимости; τ и есть то время, за которое происходит перераспределение свободных за­рядов. При статической деформации заряды перерас­пределяются и их поле компенсирует (экранирует) пьезоэлектрическое поле. таким образом, что ток ста­новится равным нулю.

Если деформация измеряется с частотой ω, которая гораздо меньше 1/ τ, устанавливается почти полная ком­пенсация. Точнее, поле объемных зарядов в случае пе­ременной деформации, создаваемой звуком, отличается от статического поля на малую величину, пропорциональную ωτ. Поэтому в пьезоэлектрике протекает пере­менный ток, пропорциональный той же малой величине ωτ. Соответственно коэффициент Г, определяемый квадратом плотности тока, оказывается пропорциональным ω².

В обратном предельном случае больших ωτ поле объемных зарядов за период звука вообще не успевает возникнуть. Поэтому при ωτ »1 коэффициент пропор­циональности между плотностью тока и электрическим полем оказывается вообще независящим от частоты. Не зависит от частоты и коэффициент Г. Член (ωτ) ² в знаменателе (5) и обеспечивает предельный переход от одного случая к другому.. Наконец, при qR » 1 коэффициент поглощения быст­ро убывает при увеличении частоты. Это связано с тем (уже отмечавшимся выше) обстоятельством, что звуко­вая волна, длина которой гораздо меньше радиуса эк­ранирования, почти не вызывает перераспределения за­ряда даже в статическом случае.

Коэффициент поглощения достигает максимально­го значения при частоте ω_m = ω₀/R, т. е. когда длина волны равна 2πR; максимальное значение Г_mo коэффи­циента поглощения равно χ/4R.

Характер частотной зависимости коэффициента по­глощения определяется величиной ω_mτ. Если ω_mτ «1, то максимум получается сравнительно острым.

В противоположном предельною случае коэффици­ент поглощения растет пропорционально ω² вплоть до частот порядка 1/τ, после чего его рост становится очень медленным. Максимум в этом случае оказывает­ся более пологим. При ω » ω_m коэффициент поглоще­ния во всех случаях убывает пропорционально ω². Се­мейство Г(ω) при разных значениях ω_mτ приведено на рис. 3.

Интересно проследить характер зависимости коэф­фициента поглощения Г от электронной концентрации n₀. Обычно проводимость σ пропорциональна n₀: σ = е n₀μ, где μ - так называемая подвижность электро­нов. Таким образом, максвелловское время релаксации τ обратно пропорционально n₀. Радиус экранирования R, как мы видели, обратно пропорционален √ n₀ (см. (4)). Поэтому при малых концентрациях электро­нов коэффициент Г прямо пропорционален n₀, а при больших - обратно пропорционален n₀. Существует, таким образом, при любой частоте (о некоторая промежуточная концентрация n_w, при которой коэффициент Г максимален.

Оценим коэффициент поглощения Г для какого-ни­будь типичного случая. Рассмотрим, например, попереч­ный звук в CdS, скорость которого ω₀ = 1,8 х 10⁵ см/с. Пусть n₀ = 5 х 10¹² см^-3, ω = 3 х 10⁸ с^-1, μ = 300 см²/Вс, χ = 0,036, ε = 9,4, Т=300 К. Тогда τ = 3,5 х 10^-9 с, R= 1,6 х 10^-4 см, q = 1,7 х 10³ см^-1, и мы получаем, что коэффи­циент Г составляет около 30 см^-1. Это означает, что на расстоянии в 1/30 ~ 0,03 см интенсивность звука зату­хает в с раз, т. е. теория предсказывает сильное затуха­ние уже при таких малых концентрации и частоте.

А теперь мы переходим, пожалуй, к самому инте­ресному вопросу — анализу влияния электрического поля на поглощение звука. Представим себе, что к пьезоэлектрическому полупроводнику, в котором рас­пространяется звуковая волна, приложено постоянное электрическое поле Е.

Под влиянием постоянного поля Е возмущения элек­тронной концентрации, созданные звуковой волной, движутся со скоростью дрейфа электронов:

V = μE

 

Чтобы в этом случае найти изменение электронной концентрации под влиянием переменного поля звуко­вой волны, удобно перейти к движущейся системе ко­ординат, скорость которой по отношению к кристалли­ческой решетке равна V. В этой системе можно пользо­ваться выражениями для распределения электронной концентрации, полученными в отсутствие постоянного электрического поля. Нужно только учесть, что в силу эффекта Доплера частота звука в движущейся систе­ме координат изменяется и оказывается равной ω — qV, где q — волновой вектор звука. В итоге в выражении (5) для отношения Г/q следует произвести замену ω → ω - qV. Это дает:

 

Г/q = χω(ω – qV)τ/ω₀((1 + q²R²) + (ω – qV²)τ²)

 

В простейшем случае, когда направление распрост­ранения звука параллельно дрейфовой скорости, коэф­фициент поглощения обращается в нуль при V = ω, т. е. когда дрейфовая скорость электронов становится рав­на скорости звука. При V > ω коэффициент поглощения меняет знак. При Г<0 плотность потока звуковой энер­гии изменяется по закону:

 

S(x)=S(0)exp (-Гх) = S(0) ехр (│Г│х).

 

т. е. поглощение звука сменяется его усилением.

Зависимость коэффициента поглощения от постоян­ного электрического поля (точнее, от дрейфовой ско­рости электронов) приведена на рис. 4. Видно, что кри­вая зависимости Г(V) антисимметрична относительно линии V = ω. Отметим еще одно важное обстоятельст­во: если при распространении в прямом направлении (направлении дрейфа) звук усиливается, то при рас­пространении в обратном направлении он обязательно затухает. Однако коэффициент поглощения при этом может быть меньше коэффициента усиления при пря­мом прохождении.

 

При неизменной дрейфовой скорости V коэффици­ент усиления как функция частоты достигает макси­мума при ω = ω_m как и в случае поглощения звука. Аб­солютный максимум коэффициента усиления по отно­шению к изменению и частоты и дрейфовой скорости при заданной концентрации равен опять-таки Г_mo — максимальному значению коэффициента поглощения.

В чем физическая основа усиления звука? Для то­го чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на погло­щение звука с несколько иной точки зрения. Можно сказать, что поглощение звука определяется фазовым сдвигом между деформацией решетки ди/дх и пьезо­электрическим полем Е. В пьезодиэлектрике фазовый сдвиг отсутствует, и пьезоэлектрический эффект не при­водит к поглощению звука - он лишь изменяет эффек­тивную жесткость решетки (скорость звука). В пьезополупроводнике пьезоэлектрическое поле отстает по фазе от деформации решетки. Соответствующий сдвиг фаз пропорционален ют; этой же величине пропорцио­нален коэффициент поглощения. При включении элек­трического поля возмущения концентрации электронов, созданные звуковой волной, дрейфуют со скоростью V. Это приводит к уменьшению сдвига фаз и, следователь­но, к уменьшению поглощения. В более сильных элек­трических полях пьезоэлектрическое поле опережает по фазе деформацию решетки. При этом происходит пе­редача энергии электрического поля звуковой волне — ее интенсивность нарастает. Именно эти процессы мате­матически описываются формулой (6).

До сих пор мы в наших рассуждениях не учитыва­ли поглощения звука кристаллической решеткой. Что­бы его учесть, нужно к выражению для коэффициента электронного поглощения звука добавить коэффициент решеточного поглощения. В результате значение коэф­фициента поглощения оказывается больше, а коэф­фициента усиления — меньше,.чем в отсутствие реше­точных эффектов. Полный коэффициент усиления об­ращается в нуль не при каком-нибудь одном, а при двух значениях дрейфовой скорости — V_l и V_ll на рис. 4.

Оценим коэффициент усиления в каком-нибудь ти­пичном случае. Обратимся с этой целью к примеру, рассмотренному на стр. 16. При (Vω)/ω)== 0,l мы по­лучаем, что Г~5 см^-1. Если увеличить дрейфовую ско­рость и рассмотреть случай {Vω)/ω = 1, то Г~30 см^-1. Это значит, что интенсивность звука возрастает в е раз на расстоянии в 1/30~0,03 см. При дальнейшем возра­стании дрейфовой скорости коэффициент усиления на­чинает убывать.

Приведем в качестве примера экспериментальные зависимости коэффициента поглощения (усиления) от электрическою поля, наблюдавшиеся в кристалле CdS (рис. 5). Как уже говорилось, CdS—фотопроводник. Начало отсчета затухания на рис. 5 соответствует за­туханию в неосвещенном образце. При изменении уров­ня освещенности изменяется проводимость кристалла, а следовательно, и т. Так получены кривые В и С, соответствующие частоте 45 МГц и значениям (от 4,2 и 4,8 соответственно. Кривая А получена на частоте 15 МГц; <от=0,83. Из рисунка видно, что при значении электрического поля ~750 В/см коэффициент поглощения из­меняет знак—поглощение сменяется усилением.

Обратим внимание на то, что теория дает очень большие значения коэффициента усиления. Усиление звука в пьезополупроводниках наблюдалось в целом ряде экспериментальных работ. В некоторых случаях существующая теория удовлетворительно описывала данные опыта. Иногда, однако, усиление, наблюдавшее­ся экспериментально, оказывалось гораздо меньше тео­ретического. Такое расхождение, возможно, связано с решеточным поглощением звука и некоторыми другими явлениями (которые не учтены в этом простейшем ва­рианте теории).

А может быть, дело здесь в следующем. В простей­шей теории, описанной выше, предполагается, что изме­нение концентрации электронов и электрического поля пропорционально деформации решетки в звуковой вол­не (линейная теория). При больших амплитудах зву­ковой волны линейный закон становится непримени­мым — в таком случае говорят, что имеют место нелинейные эффекты. В процессе усиления звука его ин­тенсивность может возрасти на много порядков, поэто­му такие эффекты могут быть важны. О нелинейных эффектах речь пойдет ниже, и мы увидим, что они могут существенно изменить картину усиления звука.

При приложении к пьезополупроводнику электриче­ского поля изменяется не только поглощение. Изменяя сдвиг фаз между волнами деформации и пьезоэлект­рического поля, внешнее электрическое поле изменяет л скорость звука.

Отметим, что скорость звука зависит не только от величины, но и от направления электрического поля по отношению к направлению распространения звука. Соответственно скорости волн, распространяющихся вдоль и навстречу полю, различны. Это обстоятельство по­лезно иметь в виду; мы вспомним о нем в следующем разделе.