ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложения определенного интеграла

 

 

а) Площадь фигуры

Как уже отмечалось, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x), f (x) ≥ 0, прямыми х = а, х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ (рисунок 1).

(1)

у

у=f (x)

a

b

Рис.2

х

х

у

а

b

у = f (x)

Рисунок 1

 

Учитывая свойства определенного интеграла, эту геометрическую интерпретацию можно обобщить и на случай f (x) £ 0(рис.2). А именно, если f (x) £ 0 на [ a, b ], то

(2)

Т.е. площадь криволинейной трапеции, расположенной под осью ОХ, равна соответствующему интегралу, взятому со знаком минус.

Если же на заданном отрезке функция у = f (x) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком минус (рис.3):

– + (3)

B

C

A

b

d

a

c

+

–

+

Рис.3

 

Если фигура ограничена двумя кривыми у = f ₁(x) и у = f ₂(x), f ₁(x) £ f ₂(x) то, как следует из рисунка 4, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций а ВС b и а АD b, каждая из которых численно равна интегралу. Значит, .

Таким образом, (4)

у = f 1(x)

у = f 2(x)

b

а

A

B

C

D

Рис.4

Заметим, что площадь фигуры, изображенной на рисунке 5а, находятся по такой же формуле:

S =

(докажите это!). Подумайте, как вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 5б?

а

у = f 1(x)

у = f 1(x)

у = f 2(x)

у = f 2(x)

b

b

а

б)

а)

Рисунок 5

 

 

Мы вели речь только о криволинейных трапециях, прилежащих к оси ОХ. Но аналогичные формулы справедливы и для фигур, прилежащих к оси ОУ. Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 6а, находится по формуле

S = . (5)

x = g (y)

d

c

х

у

а)

x = g 2(y)

d

c

х

у

x = g 1(y)

б)

Рисунок 6

Если область ограничена двумя линиями , и прямыми , (рисунок 6б), то площадь этой области можно найти по формуле

(6)

 

Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями , то площадьэтой криволинейной трапеции равна

В

А

О

р

r = r (j)

a

b

Рис.7

. (7)

Рассмотрим полярную систему координат. Фигура ОАВ, ограниченная лучами j=a, j=b и кривой r = r (j) (рисунок 7) называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора ОАВ находится по формуле

S = (8)

б) Длина дуги кривой

Пусть дана кривая у = f (x). Рассмотрим дугу (рисунок 8а). Длина этой дуги кривой находится по формуле

l = . (9)

Если кривая задана уравнением , и рассматривается дуга этой кривой, соответствующая изменению у на отрезке [ с, d ] (рисунок 8б), длина этой дуги может быть найдена по формуле

l = . (10)

а

b

A

B

х

у

а)

с

d

A

B

х

у

у = f (x)

Рис.8

б)

 

Если кривая задана параметрически , то длина дуги этой кривой, соответствующей изменению параметра t Î[a, b], находится по формуле

(11)

Если дуга кривой задана в полярной системе координат уравнением , jÎ[a, b], то

(12)

Рис.9

а

b

x

A

B

в) Объем тела вращения.

Рассмотрим криволинейную трапецию а АВ b, ограниченную линией у = f (x), прямыми х = а, х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ (рис.9). Пусть эта трапеция вращается вокруг оси ОХ, в результате получится тело вращения, объем которого выражается формулой

Рис.10

с

d

х = j(у),

(13)

Аналогично можно записать формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х = j(у), прямыми y = c, y = d и отрезком [ c, d ] оси ОУ (рис.10):

(14)

 

Пример 1.

Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , , , ; б) , , , ;

в) , ; г) , , .

х

у

Решение.

Рис.11

а) Построим линии , , , (рисунок 11). Площадь полученной криволинейной трапеции найдем по формуле (1): , где , , .

Получим

(кв.ед).

х

у

Рис.12

б) Построим линии , , , (рисунок 12). Фигура, ограниченная данными линиями, есть криволинейная трапеция, прилежащая к оси О у, поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (5): S = . Здесь , , а функцию получим из уравнения линии , если выразим х через у: Тогда имеем

(кв.ед).

в) Построим линии , . Линия есть прямая (биссектриса I и III координатных углов).

Линия есть парабола, чтобы изобразить её, найдем вершину и точки пересечения параболы с осями координат. Известно, что если парабола имеет уравнение , то абсцисса её вершины равна . В случае параболы . Тогда абсцисса вершины , а ордината . Таким образом, вершина параболы – точка (1, 1). Точки пересечения параболы с осью О х найдем из уравнения : . Значит, парабола пересекает ось О х в точках (0, 0) и (2, 0). Точка (0, 0) одновременно есть точка пересечения параболы с осью О у.

х

у

у=х

Рис.13

Построив обе линии, получим область, площадь которой требуется найти (рисунок 13).Поскольку это область, заключенная между двумя линиями, то применим формулу (4): .

Здесь , . Границы а и b интервала интегрирования можно определить по построению. А можно найти формально как абсциссы точек пересечения данных линий:

.

Тогда получим

(кв.ед).

 

г) Построим линии , , . Линия есть парабола, которая получается из параболы сдвигом всех точек вдоль оси О х на единицу влево. Парабола получается из параболы сдвигом вдоль оси О у на единицу вверх. Линия есть ось О х. Получим область АВС, изображенную на рисунке 14. Площадь этой области можно найти двумя способами.

х

у

О

–1

Рисунок 14

А

В

С

1 способ. Область АВС есть объединение двух криволинейных трапеций – АВО и ОВС, прилежащих к оси О х. Поэтому площадь всей области равна сумме площадей этих криволинейных трапеций:

(кв.ед.)

2 способ. Площадь области АВС можно найти по формуле (6):

.

Найдем функции и , графики которых ограничивают данную область:

Þ Þ Þ ;

Þ Þ Þ .

При этом, как видно из рисунка 14, .

Тогда

(кв.ед.)

Как видим, получили тот же ответ.

 

Пример 2.

Найти длину дуги кривой:

а) б) ;

в) .

Решение.

а) Поскольку линия задана уравнение вида , воспользуемся формулой (9):

l = ,

где , . Но для этого сначала нужно найти . Имеем

Þ ,

поэтому . Тогда

l =

(ед.дл.).

б) . Здесь используем также формулу (9), считая , . Находим

, ,

,

.

Тогда получим

l =

(ед.дл.)

 

в) Линия задана уравнением вида , поэтому используем формулу

l = ,

где , . Находим

, ,

,

.

Тогда

l =

(ед.дл.)

Пример 3.

Найти дину дуги линии:

а) б)

Решение.

а) Линия задана параметрически, поэтому будем использовать формулу (11) . Заметим, что границы изменения параметра t не указаны, но оговорено, что дуга описывается заданными формулами только при – значит, исходя из этого требования нужно найти отрезок изменения t. Имеем:

.

Находим

;

.

Поскольку , то

Тогда

(ед.дл.).

 

б) Здесь линия также задана параметрически, значит, вновь будем использовать формулу (11) . Найдем

;

.

Тогда .

Следовательно

(ед. дл.)

Пример 4.

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Ох.

Решение.

Рис.15

С

х

у

О

А

В

Фигура, ограниченная линиями есть область ОАВС (рисунок 15). По формуле (13) искомый объем тела, полученного в результате вращения этой фигуры, равен

(ед.²)

 

Пример 5.

Рис.16

-2

С

х

у

О

А

В

D

Фигура ограничена дугой параболы , отрезком оси О х и отрезком прямой . Найти объём тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси О х.

Фигура, ограниченная дугой параболы , отрезком оси О х и отрезком прямой , изображена на рисунке 16. Найдем абсциссу точки С пересечения параболы с прямой :

Þ

Þ .

Следовательно, С(1,3). Искомый объем равен разности объёмов V₁ и V₂ тел, образованных вращением криволинейной трапеции АВСD и треугольника ОСD. По формуле (13) находим:

V₁=

,

V₂ .

Тогда искомый объем равен

V₁ – V₂ = (куб.ед).