Предельное состояние. Если следить за подвижным температурным полем, связанным с сосредоточенным источником тепла, то можно заметить, что возникающая в начале нагрева область повышенных температур с течением времени увеличивается и достигает определенных предельных размеров. Подвижное температурное поле, как бы насыщенное теплом источника, только перемещается вместе с ним. Такое состояние процесса называется предельным или установившимся.
Таким образом, процесс нагрева источником постоянной мощности делится на два периода;
I период — теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;
II период— предельное или установившееся состояние процесса распространения тепла, когда температурное поле остается постоянным. При неподвижном источнике тепла неподвижное поле предельного состояния называют стационарным. При подвижном источнике связанное с ним температурное поле предельного состояния называют квазистационарным. Процесс распространения тепла стремится к предельному состоянию при неограниченно длительном действии источника постоянной мощности, т. е. при t— > ∞.
Для определения уравнений, описывающих процесс распространения теплоты от движущихся непрерывно действующих источников, используют принцип наложения. С этой целью весь период действия источника теплоты разбивают на бесконечно малые отрезки времени dt. Действие источника теплоты в течение бесконечно малого отрезка времени dt представляют, как действие мгновенного источника теплоты. Суммируя процессы распространения теплоты от действующих друг за другом в разных местах тела мгновенных источников теплоты, получают уравнение температурного поля при непрерывном действии подвижного источника теплоты.
Рис. 7.1 Схема движения непрерывно действующего источника мощностью q, перемещающегося со скоростью v:
а — точечный на поверхности полубесконечного тела; б - линейный в бесконечной пластине; е — плоский в бесконечном стержне
Подвижный точечный источник теплоты на поверхности полубесконечного тела. Точечный источник теплоты постоянной мощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки О0 в направлении оси х (рис. 7.1, а). Допустим, что с момента движения источника прошло время tН и он находится в точке О. Вместе с источником теплоты перемещается подвижная система координат, начало которой совпадает с местоположением источника теплоты, т. е. с точкой О. Требуется определить температуру точки А (х, у,z).
Для этого запишем приращение температуры в точке А от мгновенного точечного источника теплоты, который действовал в течение времени dt в точке О'. С момента выделения теплоты в точке О' прошло время t. Используем уравнение (6.1), полагая Q = qdt, а расстояние 
:
(7.1)
Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линии ОО0. Время распространения теплоты от мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенного источника в точке О0 равно tН. Поэтому интеграл берем в пределах от 0 до tН:
(7.2)
После преобразования получим:
(7.3)
где R2=x2+y2+z2
Уравнение (7.3) выражает температурное поле в полубесконечном теле в стадии теплонасыщения, т. е. когда температура отдельных точек непрерывно повышается. После продолжительного действия источника теплоты достигается так называемое предельное состояние, когда температура точек в подвижной системе координат перестает изменяться во времени. Такое состояние достигается при t→∞ и называется квазистационарным.
В этом случае уравнение (7.3) интегрируется после подстановки R2/4at=u2 и принимает вид
(7.4)
Температурное поле предельного состояния симметрично относительно оси Ox (рис. 7.2). Изотермы на поверхности xOy представляют собой овальные кривые, которые сгущены впереди источника теплоты и раздвинуты позади него.
Рис. 7.2 Температурное поле предельного состояния при движении точечного источника теплоты по поверхности полубесконечного тела:
а — изотермы на поверхности хОу; б — изотермы в поперечной плоскости xOz, проходящей через центр источника теплоты; в — распределение температуры по прямым, параллельным оси х и расположенным на поверхности массивного тела; г — распределение температуры по прямым, параллельным оси у и лежащим в поперечной плоскости xOz; д — схема расположения координатных осей
Распределение температуры по поверхности массивного тела на расстоянии у, равном 1, 2, 3 см, представлено соответственно кривыми 1, 2, 3 на рис. 7.2, в. Температура точек при приближении источника теплоты резко возрастает, достигает максимума, а затем убывает. Снижение температуры происходит с меньшей скоростью, чем ее подъем. Максимум температуры в точках, находящихся не на оси Ох, достигается после прохождения источником теплоты плоскости, параллельной yOz, в которой находится рассматриваемая точка. В более удаленных от оси Ох точках максимальная температура достигается позже и имеет меньшее численное значение по сравнению с точками, расположенными ближе к оси Ох. Пунктирной линией на рис. 7.2, а соединены точки с максимальной температурой на плоскости хОу. Поверхность раздела областей нагрева и остывания получается путем вращения пунктирной кривой относительно оси Ох. Область впереди пунктирной кривой нагревается, позади пунктирной кривой — остывает.
Неподвижный источник теплоты. Если в уравнении (7.4) v = 0, то будем иметь случай стационарного температурного поля в полубесконечном теле
(7.5)
Температура в направлении от источника теплоты убывает обратно пропорционально R, т. е. по закону гиперболы. Температура на данном расстоянии R прямо пропорциональна мощности источника теплоты q и обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности λ. Распределение температуры не зависит от теплоемкости материала сγ.