ЛЕКЦИЯ
Геометрические приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах и для кривой, заданной параметрически 2. Длина дуги кривой 3. Площадь поверхности вращения 4. Объем тела с заданным поперечным сечением. Объем тела |
вращения
Содержание
Введение
На предыдущих лекциях мыввели понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм, вывели формулу Ньютона-Лейбница для более простого вычисления определенного интеграла. Теперь мы можем рассмотреть ряд задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла. Следует отметить, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: разбиение фигуры на частей, приближенное решение задачи для каждой части, суммирование и предельный переход.
1. Площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах и для кривой, заданной параметрически
2.
1.1 Кривая задана в виде .
Известно, что площадь фигуры, ограниченной линией ; прямыми
, осью
вычисляется по формуле:
Если , то
;
если функция
;
если функция
на
меняет знак конечное число раз, то площадь
или надо найти сумму абсолютных величин определенных интегралов.
Если область ограничена кривыми , прямыми
причем на
;
, то
1.2 Пусть функция задана параметрически на
, т.е.
, где
; причем
Так как , то сделав подстановку
, а
, получим
1.3 Пусть кривая задана в полярной системе координат
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и радиус – векторами
вычисляется по формуле
| |||
![]() | |||
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
![]() |
Длина дуги кривой
Пусть дана кривая . Найдем ее длину на отрезке
.
![]() |
Для решения поставленной задачи разобьем дугу точками
.
Получим ломаную, вписанную в дугу . Обозначим длину каждого звена ломаной через
, а через
.
О.2.1. Длиной кривой
называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена ломаной
стремится к нулю.
Пусть функция непрерывна на
вместе с первой производной. Обозначим
и
. Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами
и
найдем
.
Используя теорему Лагранжа, получим
, где
. Тогда
.
Длина всей ломаной . Так как функция
непрерывна, то предел полученной интегральной суммы существует и равен длине кривой
.
.
Таким образом, длина дуги кривой в декартовой системе координат находится по формуле
. (1)
2.2. Пусть функция задана параметрически на
, т.е.
, где
; причем
, функции
и
непрерывны и имеют первые непрерывные производные.
Известно, что
,
.
Тогда (2)
2.3. Пусть кривая задана в полярной системе координат
,
. Используя формулы перехода от полярной к декартовой системе координат, получим:
- параметрическое задание кривой. Используя формулу (2), найдем
;
.
Тогда длина дуги кривой в полярных координатах имеет вид
Теперь можем перейти в нахождению площади поверхности вращения.
Площадь поверхности тела вращения
Требуется вычислить площадь поверхности тела, образованного вращением участка кривой
вокруг оси
.
Разобьем на части точками
. Соединим точки деления хордами. Обозначим длину каждой хорды через
![]() |
В результате вращения каждой хорды вокруг оси получим усеченный конус, площадь поверхности которого равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую, т.е.
Известно, что , где
, поэтому
Площадь поверхности всей фигуры будет равна
Предел этой суммы (если он существует) и называется площадью поверхности тела вращения.
Однако, полученная сумма не является интегральной для функции , но можно доказать, что предел интегральной суммы для этой функции будет равен пределу указанной суммы
.
Преобразуем к одной точке
где
В параметрической форме
В полярной системе координат