ЛЕКЦИЯ
Геометрические приложения определенного интеграла
| 1. Площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах и для кривой, заданной параметрически 2. Длина дуги кривой 3. Площадь поверхности вращения 4. Объем тела с заданным поперечным сечением. Объем тела |
вращения
Содержание
Введение
На предыдущих лекциях мыввели понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм, вывели формулу Ньютона-Лейбница для более простого вычисления определенного интеграла. Теперь мы можем рассмотреть ряд задач, связанных с геометрическим приложением определенного интеграла. Следует отметить, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: разбиение фигуры на 
частей, приближенное решение задачи для каждой части, суммирование и предельный переход.
1. Площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах и для кривой, заданной параметрически
2.
1.1 Кривая задана в виде 
.
Известно, что площадь фигуры, ограниченной линией ; прямыми 
, осью 
вычисляется по формуле:
Если 
, то 
;
если функция 
;
если функция 
на 
меняет знак конечное число раз, то площадь 
или надо найти сумму абсолютных величин определенных интегралов.
Если область ограничена кривыми 
, прямыми причем на ; 
, то
1.2 Пусть функция задана параметрически на , т.е.
, где 
; причем 
Так как 
, то сделав подстановку 
, а 
, получим 
1.3 Пусть кривая задана в полярной системе координат
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой 
и радиус – векторами 
вычисляется по формуле
| |||
 | |||
т.к. площадь кругового сегмента равна 
- центральный угол
|
|
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: 
 |
Длина дуги кривой
Пусть дана кривая . Найдем ее длину на отрезке .
 |
Для решения поставленной задачи разобьем дугу 
точками
.
Получим ломаную, вписанную в дугу . Обозначим длину каждого звена ломаной через 
, а через 
.
О.2.1. Длиной 
кривой называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина наибольшего звена ломаной 
стремится к нулю.
Пусть функция непрерывна на вместе с первой производной. Обозначим 
и 
. Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами 
и 
найдем
.
Используя теорему Лагранжа, получим
, где 
. Тогда
.
Длина всей ломаной 
. Так как функция непрерывна, то предел полученной интегральной суммы существует и равен длине кривой .
.
Таким образом, длина дуги кривой в декартовой системе координат находится по формуле
. (1)
2.2. Пусть функция задана параметрически на , т.е.
, где ; причем , функции 
и 
непрерывны и имеют первые непрерывные производные.
Известно, что
, 
.
Тогда 
(2)
2.3. Пусть кривая задана в полярной системе координат
, 
. Используя формулы перехода от полярной к декартовой системе координат, получим:
- параметрическое задание кривой. Используя формулу (2), найдем
;
.
Тогда длина дуги кривой в полярных координатах имеет вид 
Теперь можем перейти в нахождению площади поверхности вращения.
Площадь поверхности тела вращения
Требуется вычислить площадь поверхности тела, образованного вращением участка кривой вокруг оси .
|
|
Разобьем на части точками 
. Соединим точки деления хордами. Обозначим длину каждой хорды через 
 |
В результате вращения каждой хорды вокруг оси получим усеченный конус, площадь поверхности которого равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую, т.е.
Известно, что 
, где , поэтому
Площадь поверхности всей фигуры будет равна
Предел этой суммы (если он существует) и называется площадью поверхности тела вращения.
Однако, полученная сумма не является интегральной для функции 
, но можно доказать, что предел интегральной суммы для этой функции будет равен пределу указанной суммы 
.
Преобразуем к одной точке 
где 
В параметрической форме
В полярной системе координат
