Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Если поверхность задана уравнением и – дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости, проведённой к поверхности () в точке , имеет вид

.

Уравнение нормали к этой поверхности в той же точке имеет вид

.

2. Градиент и производная по направлению

Если каждой точке М некоторой области пространства поставлено в соответствие число (скаляр) , то говорят, что задано скалярное поле.

Пусть − единичный вектор, задающий некоторое направление. Производной от функции по направлению называется предел (если он существует)

где вдоль луча, выходящего из точки M₀ по направлению вектора , − длина вектора Пусть функция, непрерывно дифференцируемая в точке M₀,

Тогда

Градиентом скалярного поля φ называется вектор

.

Заметим, что , и поэтому .Отсюда следует, что направление характеризуется тем, что производная в этом направлении будет наибольшей. То есть – вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции φ.

3. Экстремум функции многих переменных

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что точка М является точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность V точки М, такая что для любой точки N из этой окрестности V, отличной от точки М, справедливо неравенство f(N) < f(M) (f(N) > f(M)). Точки максимума и точки минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если М – точка экстремума дифференцируемой функции , то

... .

Точка М, в которой выполнены эти условия, называется стационарной точкой. Не любая стационарная точка функции является точкой экстремума. Следующая теорема даёт достаточное условие для того, чтобы стационарная точка функции двух переменных была точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума для функции двух переменных). Пусть – стационарная точка функции двух переменных u = f(x; y), дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки М.

Рассмотрим определитель

.

1) Если , то является точкой экстремума функции u(x; y) = f(x; y), а именно: а) если , то М – точка минимума; б) если , то М – точка максимума.

2) Если , то М не является точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума для функции трёх переменных). Пусть – стационарная точка функции , дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки М. Рассмотрим определители

, ,

.

Пусть . Тогда имеем:

a) если , то – точка минимума;

б) если , то – точка максимума;

в) во всех остальных случаях (при условии ) М не является точкой экстремума.

4. Условный экстремум

Говорят, что функция , определённая в некоторой окрестности точки , имеет в точке М условный максимум (условный минимум), если для любой точки N(x₁; x₂;...; x_n) из вышеуказанной окрестности точки М, отличной от M, координаты которой удовлетворяют соотношениям

(*)

m < n, выполняется неравенство f(N) < f(M) (f(N) > f(M)), при этом считается, что координаты точки удовлетворяют уравнениям (*). Уравнения (*) называются уравнениями связи.

Для нахождения условного экстремума функции при уравнениях связи (*) (все рассматриваемые функции считаются дважды дифференцируемыми) вводят в рассмотрение функцию Лагранжа L(x₁; x₂;...; x_n; ) = f(x₁; x₂;...;x_n) + (x₁; x₂;...;x_n)+ + (x₁; x₂;...; x_n) +... + (x₁; x₂;...; x_n) и решают задачу нахождения экстремума функции L(x₁; x₂;...; x_n; ) при условии, что выполнены равенства

(**)

для всевозможных наборов , для которых ( есть приращение j - го аргумента в точке М).

Теорема. Пусть – стационарная точка функции Лагранжа L(x₁; x₂;...; x_n; ). Если для всевозможных , подчинённых в точке условиям (**), справедливо неравенство

, то является точкой максимума, если для таких же то является точкой минимума.

Замечание. является квадратичной формой от переменных . Вопрос знакопостоянства квадратичной формы можно решать с помощью критерия Сильвестра.

В случае функции двух переменных справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть требуется найти условный экстремум дважды непрерывно дифференцируемой функции u = f(x; y) с уравнением связи j(x; y) = 0. Пусть – стационарная точка функции Лагранжа . Рассмотрим функцию .

Тогда: 1) если , то является точкой условного минимума; 2) если , то является точкой условного максимума.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных в замкнутой области

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченной замкнутой области (D) поступают следующим образом. Сначала находят стационарные точки M₁, M₂,…, M_k, принадлежащие (D). Затем исследуют сужение функции u = u(x₁; …; x_n) на границе области (D). Пусть , – точки максимума и минимума функции . После этого сравнивают значения и , и и среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее.