Обработка результатов анализа с использованием коэффициента

Обработка результатов анализа с использованием коэффициента

Стьюдента

Цель: рассчитать погрешности измерений с использование коэффициента Стъюдента

Задание: Решить задачи и ответить письменно на контрольные вопросы. Сделать вывод по работе.

Задача 1.

Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения марганца (%): 0,59; 0,58; 0,60; 0,57; 0,57; 0,59; 0,56; 0,58; 0,57; 0,58.

Задача 2.

Из восьми определений содержания бария в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Ва %: 0,79; 0,78; 0,77; 0,79; 0,76; 0,78; 0,77; 0,78.

Задача 3.

Среднее из восьми измерений оптической плотности глицерина при 20°С равно 6,04 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,03 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из восьми и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.

Задача 4.

Среднее из десяти измерений концентрации раствора соли при 20°С равно 1,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,02 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из десяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.

Методические рекомендации

Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина будет являться абсолютной погрешностью i -го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое , которое рассчитывают по формуле:
(1)

Однако при малых объемах выборки вместо предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например, для n=3

Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов.

Например, для n=4

Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:
(2)

Выборочное стандартное отклонение s зависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ

Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком. При очень большом числе выборки (n > ) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса.

При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t -распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата определяется по формуле:
(3)

Разности между средним выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t -распределения определяются следующим выражением:
(4)

Величина является доверительным интервалом среднего значения . Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.

Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)

Контрольные вопросы

1.От чего зависит точность измерений?

2.Какими причинами вызываются погрешности измерений, как их избежать?

3.Чем отличаются истинное и действительное значения физической величины?

4.Как можно уменьшить погрешность измерений?

5.Какова классификация средств измерений?