Простейшая модель кристаллического тела

 

Это модель одномерная Кронига - Пенни, периодическое электрическое поле положительных ионов кристалла апроксимируется потенциалом типа «зубчатой стенки».

Рис.2

На рисунке изображено чередование потенциальных ям и барьеров.

 

Решение уравнения Шредингера для потенциальной ямы:

(1)

Решение для потенциального барьера:

(2)

где ;

, .

X_n – координата отсчитывается от начала n ^го участка. Записывают для каждой ямы и барьера, потом «сшивают» решения и получают основное уравнение для определения энергетических уровней в периодическом поле кристалла.

(3)

где -площадь зубца.

Рис.3

Графическое изображение решения уравнения Шредингера по Кронигу – Пенни.

Cos k′a может меняться в пределах от –1 до +1.

Провели параллельные прямые оси абсцисс и находим точки пересечения этих прямых с графиком, опускаем перпендикуляры и находим корни уравнения (3). Эти участки обозначены жирными линиями. Таким образом допустимые значения Е(к) имеют дискретный характер (зонный). Если ось (Ка) перевернуть в вертикальное положение, то получим картину расположения энергетических зон, разрешенных и запрещенных.

Рис.4

На рис.4 энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонную структуру.

L – длина кольца цепочки.

Значения волновых векторов . α - постоянная решетки.

Зону, произошедшую от валентных уровней атомов, образующих кристалл, называют валентной зоной.

Зоны, произошедшие от внутренних уровней, всегда полностью заполнены электронами.

Частично заполненной или незаполненной может быть внешний валентный уровень (зона проводимости).

Рис.5 Рис.6

Наиболее слабо связаны 3S-электроны. При образовании твердого тела из отдельных атомов происходит перекрытие волновых функций этих электронов.

Пространственная протяженность электронных волновых функций зависит от квантовых чисел. Для больших квантовых чисел электронные волновые функции простираются на большие расстояния от ядра, для этих уровней взаимное влияние атомов будет проявляться при больших расстояниях между атомами. Что хорошо видно на рис.7, на примере уровней атомов натрия. На уровнях 1S, 2S, 2P практически не сказывается влияние соседних атомов, тогда как для уровней 3S, 3P и более высоких уровней это влияние существенно и эти уровни превращаются в энергетические зоны. Для 3S – электронов имеется энергетический минимум, обеспечивающий устойчивую твердотельную конфигурацию атомов натрия при средней межатомной расстоянии R~ 3А. В атоме натрия на энергии 3S – электрона сказывается влияние соседних атомов, означает также заметное перекрытие волновых функций этих электронов. Поэтому уже нельзя говорить о том, что конкретный 3S – электрон связан с каким-то конкретным атомом. Когда присутствие других атомов изменяет потенциальную яму отдельного атома (рис.5, рис.6), результирующий кулоновский потенциал уже не будет удерживать 3S – электроны около конкретных атомов, так что они могут находиться в твердом теле где угодно в результате перекрытия волновых функций 3S – электронов. Но 3S – электроны не могут свободно покидать твердое тело, так как их волновые функции не «выходят» за пределы вещества. Энергия связи электронов в твердом теле равна работе выхода φ.

Твердое тело из четырех атомов будет иметь всего четыре уровня, распределенные по некоторому энергетическому интервалу.

Рис.8

Например: в основном состоянии атома водорода электрон может находиться в одном из двух состояний – со спином вверх или вниз. В системе четырех протонов имеется восемь возможных состояний. Но если добавить еще три электрона, чтобы получить четыре атома водорода, то занятыми окажутся четыре состояния и на каждый электрон будет приходиться по два состояния. Эффект сближения атомов проявляется в изменении энергии отдельных состояний

где - энергия изолированного атома, - изменения энергии, связанные с влиянием соответствующих протонов 2, 3, 4. R – расстояние между атомами.

Эффект сближения атомов проявляется в увеличении общего числа уровней. В реальном теле содержится порядка 10²³ отдельных уровней, которые непрерывно распределяются внутри некоторого интервала, образуя зону разрешенных значений энергии (рис.9). Такая же ситуация в основном имеет место для валентных электронов любого атома.

Рис.9

В твердом натрии зона 3S – электронов является внешней, наполовину заполненной. Верхняя граница заполненных уровней приходится на середину зоны. Электрон может перейти на более высокий свободный уровень в этой зоне за счет теплового или электрического возбуждения. Следовательно, твердый натрий обладает хорошей электропроводностью и теплопроводностью. На рис.10 зонная структура проводников (натрия). Верхняя зона – частично заполненная зона. Нижние зоны - заполненные электронами.

Если число энергетических уровней в зоне больше числа электронов в ней, то электроны легко возбуждаются, обеспечивая тем самым проводимость, если же все уровни в зоне заполнены, то проводимость невозможна или затруднена.

Например: в кремнии, германии, углероде (алмаз) на P – оболочке имеются два электрона и возникает смешанная конфигурация S и P – орбиталей (орбиталь – волновая функция, описывающая данное квантовое состояние), которая делает особенно благоприятной конфигурацию из четырех атомов, изображенную на рис.11 (энергия кулоновского отталкивания электронов минимальна).

Рис.11

Волновые функции S и P – электронов образуют одну совершенно пустую гибридную SP – зону и одну заполненную гибридную SP – зону. Заполненная и пустая зоны разделены довольно значительным энергетическим интервалом или зоной запрещенных значений энергии. Для изоляторов типичное значение ширины запрещенной зоны ~ 5 эв и больше. Ширина запрещенной зоны для полупроводников (германия 0,67 эв, кремния 1,12 эв) находится в пределах 0,1 ¸ 3 эв.

Полупроводники и изоляторы отличаются друг от друга только шириной запрещенной зоны.

Рис.12

 

Теорема Блоха

Теорема Блоха утверждает, что собственные функции волнового уравнения с периодическим потенциалом имеют вид произведения функции плоской волны

На функцию , которая является периодической функцией в кристаллической решетке:

Индекс в указывает, что эта функция зависит от волнового вектора .

Волновую функцию называют функцией Блоха. Решения уравнения Шредингера такого вида состоят из бегущих волн, из таких решений можно составить волновой пакет, который будет представлять электрон, свободно распространяющийся в периодическом потенциальном поле, созданном ионными остовами.

 

Рис.13

 

Форма волнового пакета при t=0 для дебройлевских волн . Амплитуда указана штриховой линией, волна – сплошной. Движение монохроматической плоской волны вдоль оси Х можно описать функцией

(1)

Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы.

(2)

Если время изменится на величину ∆t, то для того, чтобы соблюдалось условие (2), координата должна измениться на величину ∆х, которая может быть найдена из равенства

т.е. (3)

Отсюда скорость распространения постоянной фазы, получившей название фазовой скорости:

(4)

Фазовая скорость фотонов (m₀ = 0) равна скорости света

(5)

, (6)

Фазовая скорость электрона, движущегося со скоростью V, можно написать

(7)

, (7)

т.е. она становится больше скорости света, поскольку V< с. Это говорит о том, что фазовая скорость не может соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.

Реальный процесс не может быть чисто монохроматическим (k = const). Он всегда обладает определенной шириной, т.е. состоит из набора волн, обладающих близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.

С помощью набора волн можно построить волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую связывают с местоположением частицы. Максимум амплитуды волнового пакета распространятся со скоростью, которая получила название групповой скорости.

Амплитуда В волнового пакета

 

где A – амплитуда постоянная каждой из этих волн.

В распространяется со скоростью

Для фотонов (m₀ = 0)

Для дебройлевских волн

т.е. групповая скорость совпадает со скоростью движения частицы.

В точках и т.д.

Квадрат амплитуды обращается в нуль.

Область локализации волнового пакета

,

где - ширина волнового пакета.

где - время расплывания волнового пакета.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Чем меньше , тем шире . Для монохроматической волны

,

где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т.е. наложение частицы (одномерный случай) во всем пространстве равновероятно. Это обобщается и на трехмерный случай.

Для нерелятивистского случая (m = m₀) время расплывания волнового пакета

если m = 1г, ,то

время расплывания чрезвычайно велико. В случае электрона m₀ ~ 10^-27г (размеры атома),

т.е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение, т.к. волновой пакет расплывается практически мгновенно.

Волновое уравнение фотона содержит вторую производную по времени, т.к. фотон всегда релятивистская частица.