ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
Если 
, но 
, то принято писать 
. Если 
, но 
, то пишут 
.
Пределы (если они существуют)
, и 
называют соответственно пределом слева функции 
в точке а и пределом справа функции в точке а.
Равенство 
является необходимым и достаточным условием для существования предела функции в точке а. Пределы справа и слева называются односторонними.
Примеры: Найти односторонние пределы следующих функций:
1) 
при 
.
|  ,  , отсюда видно, что если  , то  .
 .
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке  не существует.
|
2) 
, (
) при 
.
, т.к. 
, т.к. 
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке 
не существует.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.
Определение. Функция 
непрерывна в точке 
, если она определена в окрестности этой точки и существует предел 
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение 
2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: 
.
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: 
Отсюда следует, что 
или 
, т.е. если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента 
в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции 
.
|
Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, т.к. в этом случае из соотношения (5) следует предел (4). Следовательно, для того, чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее приращение в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением аргумента .
|
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, непрерывна и во всей этой области.
Если две функции и 
непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и функции 
; 
; 
(если 
).
ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Если условие непрерывности функции в точке не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.
Говорят, что функция имеет разрыв в точке первого рода, если существуют конечные пределы 
и 
, причем
1.Если 
, то называется неустранимой точкой разрыва.
2.Если 
, называется устранимой точкой разрыва, если существует.
Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы одних из односторонних пределов функции в этой точке не существует, либо равен бесконечности.
Если , то разность 
называется скачком функции в точке (разрыв второго рода – неустранимый).
Пример: Для функции 
имеем
, однако
.
Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции .
Примечание: Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить (пополнить) функцию в точке. В рассмотренном примере нужно положить в 
, тогда функция
является непрерывной в точке 
.
Пример: Для функции 
точка х = 0 является точкой разрыва,
т.к. в этой точке функция не определена (
не существует). При этом 
, 
. Следовательно, точка 
является точкой разрыва первого рода, а 
- скачок данной функции
(т.е. если мы пополним эту функцию какой-то одной точкой, она все равно останется разрывной).