Задание: Определить реальный коэффициент полезного действия (КПД) полиспаста с определенным теоретическим передаточным отношением.
Решение.
1. В зависимости от организации полиспаст может иметь несколько конструктивных решений, от простого – к сложному. Поэтому при неизменном передаточном отношении возможны различные комбинации (а, следовательно, и число) используемых роликов, карабинов, диаметров канатов и т.д.
2. Рассмотрим две схемы организации полиспаста с одинаковым передаточным отношением, например, 6:1. Их отличие состоит в отсутствии и наличии обводного ролика (Рис.1).
Рис.1
3. Рассчитаем теоретический и реальный выигрыш в силе при использовании обеих схем.
Из рисунка видно, что передаточное отношение обеих схем идентичное 
=6 (Рис.2).
Рис.2
В реальности ситуация несколько иная, и объясняется это наличием механических потерь (на трение) в подвижных узлах (соединениях) полиспаста (в данном случае, это шарикоподшипники роликов и пара «шкив ролика – веревка»).
Допустим, что в обоих полиспастах используются абсолютно одинаковые ролики, веревки и прочие элементы. Тогда усилия в ветвях будут распределяться следующим образом, согласно приведенного рисунка (Рис.3).
Рис.3
Отсюда суммарные усилия для приведенных полиспастов будут равны:
Для схемы без обводного ролика:
Для схемы с обводным роликом:
Определим реальный выигрыш в силе при использовании указанных схем организации полиспастов.
Для схемы без обводного ролика:
Для схемы с обводным роликом:
Учитывая, что значение КПД самого ролика 
, получим:
Для схемы без обводного ролика:
Для схемы с обводным роликом:
Таким образом, можно видеть, что при использовании полиспаста со схемой организации без обводного ролика выигрыш в силе составляет 1:4,801, а с обводным роликом – 1:4,369.
4. Определим коэффициент полезного действия (КПД) полиспаста для обеих схем организации.
КПД любой механической системы, связанной с перемещением тела, определяется по формуле:
где:
– общая работа (на входе), сила, и расстояние, на котором действует сила, Н;
– полезная работа (на выходе), сила, и расстояние, на котором действует сила, Н.
Учтем, что при использовании в полиспасте нерастяжимой веревки (принятое допущение), соотношение расстояний, на котором действуют обе силы, равно его теоретическому передаточному отношению, т.е.:
Отсюда получим:
Определим реальный КПД при использовании указанных схем организации полиспастов.
Для схемы без обводного ролика:
Для схемы с обводным роликом:
5. Практическая часть.
Рассчитаем коэффициент полезного действия подшипников качения, используемых в простой системе организации полиспаста с передаточным отношением 1:6 с использованием веревок различных диаметров.
Все исходные для расчета данные получены в результате проведенных испытаний.
В ходе испытаний использовались:
1. Простые полиспаст-блоки «Спасатель 3» и «Спасатель 3+» с передаточным соотношением (теоретическим) 1:6.
2. Веревки различных диаметров (6, 8 и 11 мм).
3. Блок-ролики диаметром (наружный/внутренний): 35/27 мм.
Полиспаст-блоки «Спасатель 3» и «Спасатель 3+» представляют собой простые полиспасты с передаточным соотношением 1:6 с обводным роликом (Рис.4).
Рис.4.
Следовательно, его передаточное отношение (реальное) определяется как:
Учитывая, полученные опытным путем реальные передаточные соотношения полиспастов, определим КПД блок-роликов при использовании различных диаметров веревок.
Расчетные уравнения:
Для веревки диаметром 6мм: 
;
Для веревки диаметром 8мм: 
;
Для веревки диаметром 11мм: 
Решим полученные уравнения приближенным числовым методом, учитывая, что а лгебраические уравнения n- ой степени (n ≥ 5) в общем случае в радикалах не решаются, т.е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам (это впервые доказал норвежский математик Нильс Абель).
Однако, корни уравнения n -ой степени могут быть найдены с любой наперед заданной точностью при помощи численных методов (методом Лагерра и др.).
Решим уравнения с помощью онлайн-калькулятора (https://www.mathforyou.net/AnyPowSol.html).
Зададим требуемую точность нахождения корней (0,001) и максимальное количество итераций, которое предполагается при этом затратить (30).
Решая полученные уравнения (относительно 
), получим следующие варианты решений:
Для веревки диаметром 6мм:
Для веревки диаметром 8мм:
Для веревки диаметром 11мм:
Далее введем физическое ограничение, которому должен соответствовать искомый корень указанных уравнений. Учитывая, что это КПД, он должен находиться в промежутке от 0 до 1:
Проведенный анализ показывает, что из всех приведенных корней требуемым условиям соответствуют следующие корни:
Для веревки диаметром 6мм:
Для веревки диаметром 8мм:
Для веревки диаметром 11мм:
Далее отметим, что приведенные КПД соответствуют элементу «блок-ролик (с подшипником) – веревка», и определяются по формуле:
где: 
– КПД шарикоподшипника блок-ролика;
– КПД пары «ролик – веревка»
Отсюда КПД пары «ролик – веревка» будет определяться по формуле:
Потери (механические) на трение в паре «ролик – веревка» составят:
Произведем требуемые вычисления, и полученные результаты занесем в сводную таблицу (Таб.1).
Таблица 1.
КПД полиспаста 6:1 (в целом) и его элементов в зависимости от диаметров используемых верёвок на примере Полиспаст-блок Спасатель 3+ (диаметр ролика наружный/внутренний: 35/27 мм)
| № п/п | Диаметр верёвки, мм | Вес груза, кг | Масса противовеса, кг | Соотношение полиспаста | КПД полиспаста, % | КПД пары «ролик с подшипником – веревка», % | КПД подшипника (справочные данные) | КПД пары «ролик – веревка», % | Потери в паре «ролик – веревка», % | ||
| расчет | факт | расчет | факт | ||||||||
| 14,860 | 6:1 | 4,038:1 | 67,300 | 88,78 | 0,91 | 97,56 | 2,44 | ||||
| 18,165 | 6:1 | 3,303:1 | 55,050 | 83,14 | 0,91 | 91,36 | 8,64 | ||||
| 25,165 | 6:1 | 2,384:1 | 39,733 | 74,06 | 0,91 | 81,38 | 18,62 |
Выводы:
1. КПД системы полиспаста зависит от количества, вида и размеров используемых роликов, применяемых подшипники, рабочего каната (верёвки). Причем, чем элементов больше, тем КПД меньше (при одинаковых способах организации полиспаста).
2. КПД пары «ролик – веревка» находится в обратной зависимости от диаметра используемой в полиспасте веревки: чем диаметр веревки ниже, тем КПД выше. Это объясняется, прежде всего, меньшим уровнем усилий, требуемых на ее деформирование при прилегании в «ручье» шкива блок-ролика.
3. КПД ближних к тяговому концу роликов гораздо больше влияет на КПД всей системы, чем КПД конечных роликов.