Методы вычисления интегралов.
Метод непосредственного интегрирования.
Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.
Пример
Задание. Найти интеграл 
Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.
Ответ. 
Внесение под знак дифференциала
В формуле неопределенного интеграла величина dx означает, что берется дифференциал от переменной x. Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла. Для этого используется формула
y′(x)dx=dy(x)
Если нужная функция y(x) отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраических преобразований.
Пример
Задание. Внесением под дифференциал найти неопределенный интеграл ∫cos(2x)dx
Решение. Внесем 2x под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.
∫cos(2x)dx=∫cos(2x)⋅1/2⋅2⋅dx=∫cos(2x)⋅1/2⋅d(2x)=
=1/2∫cos(2x)d(2x)=1/2∫d(sin2x)=1/2 sin2x+C
Ответ. ∫cos(2x)dx=1/2 sin2x+C
В общем виде справедливо равенство:
∫f(y(x))⋅y′(x)dx=∫f(y(x))d(y(x))
Пример
Задание. Найти интеграл ∫dx/(3−5x)
Решение. Внесем (3−5x) под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.
∫dx/(3−5x)= ∫−1/5d(−5x)/(3−5x)=
=−1/5∫d(3−5x)/(3−5x) =−1/5ln|3−5x|+C
Ответ. ∫dx/(3−5x) =−1/5ln|3−5x|+C
Интегрирование заменой переменной.
Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть x=ϕ(t), где функция ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ′(t), а между переменными x и t существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство
|
|
∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))⋅ϕ′(t)⋅dt
Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.
Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:
а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента х, то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования t.
Пример 1.
Вычислить 
Решение:
Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумента х, то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е. 
Замечание: После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.
Пример 2. Вычислить 
Решение.
Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е. 
Пример 3. Вычислить 
Решение.
Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е. 
б) Если элементарная функция, содержащаяся в подынтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при dx присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается элементарная функция.
|
|
Пример
Задание. Найти интеграл ∫dx/(3−5x)
Решение. Заменим знаменатель на переменную t и приведем исходный интеграл к табличному.
∫dx/(3−5x)=‖3−5x=t
−5dx=dt
dx=-1/5 dt ‖= ∫−dt5t=−1/5∫dt/t=
=−1/5ln|t|+C=−1/5ln|3−5x|+C
Ответ. ∫dx/(3−5x)=−1/5ln|3−5x|+C
Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле
∫udv=uv−∫vdu
При нахождении функции v по ее дифференциалу dv можно брать любое значение постоянной интегрирования C, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать C=0.
Главная сложность применения такого метода – это необходимость выбирать, какую часть брать за дифференциал, а какую – за функцию u (x) u(x). Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.
Пример 1.
Задание. Найти интеграл ∫x*cosxdx
Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.
∫xcosxdx= ‖u=x, v=sinx, du=dx, dv=cosxdx‖ = xsinx−∫sinxdx=
=xsinx+cosx+C
Ответ. xsinx+cosx+C
Пример 2. Вычислить 
Решение.
Применим метод интегрирования по частям 
Замечание: Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.
Пример 3.
Пример 4.
Дома: конспект, решить методом замены:
Метод по частям
|
|