Теоретическая часть
История возникновения нуля
Ноль (нуль, от лат. nullus — никакой) — название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять).
Происхождение, название и знак нуля имеют интересную историю. Трудно сказать, когда он появился впервые, так как многие цивилизации примерно в одно время пришли к необходимости ввести такое понятие – нуль.
Некоторые исследователи предполагают, что нуль появился в древневавилонской системе исчисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте
Цифра ноль, которой мы сейчас пользуемся, пришла к нам вместе с арабскими цифрами, которые к арабским математикам попали из Индии. Большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.
Число 0 имеет два названия: НУЛЬ и НОЛЬ
Кстати, как правильно говорить "ноль" или "нуль" принципиального значения не имеет. Но в математических трудах цифру ноль принято писать — "нуль" ("равно нулю", "ниже нуля"), а в свободном употреблении чаще встречается "ноль".
Оба названия в свободном употреблении — равноправны. Но в некоторых устойчивых выражениях эти слова не взаимозаменяемы.
Основные свойства нуля
0 — целое число.
Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число.
На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
Любое число при сложении с нулём не меняется.
При вычитании нуля из любого числа получается то же число.
Умножение любого числа на ноль даёт ноль.
При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль.
Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице.
Ноль в геометрии
Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат
Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
На окружности расположения 0° и 360° совпадают.
Деление на ноль
Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.
В самом деле, если обозначить 𝑎 · 0 = b, то по определению деления формально должно быть b · 0 = a, в то время как выражение b · 0, при любом b, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.
Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.
Принадлежность к натуральным числам
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль.
Значения отдельных функций
Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: 𝑎0=1.
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла, то есть неопределённым.
Связано это с тем, что функция двух переменных x, y в точке {0;0} имеет неустранимый разрыв.
В самом деле, вдоль положительного направления оси X, где x = 0, она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y, где x = 0, она равна нулю.
Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице: 0! = 1.
Из всех векторов только НУЛЕВОЙ вектор нельзя изобразить в виде направленного отрезка.
Ноль в языке и культуре
· «Мы почитаем всех нулями, а единицами — себя » — цитата из поэмы Пушкина «Евгений Онегин»(глава 2, строфа 14), употребляется иронически, когда говорят о чьем-либо завышенном самомнении и пренебрежительном отношении к окружающим.
· На нуле — отсутствие чего-либо. Например, «финансы на нуле » (разговорное употребление).
· Ноль в переносном значении означает ничтожного, незначительного человека, например: «Он абсолютный ноль ».
· Выражение ноль без палочки, когда идёт речь о человеке, означает, что он не имеет никакого влияния, значения (разговорное и шутливое употребление), а также некомпетентного, глупого человека. Раньше цифра 0 писалась с черточкой внутри знака (иногда, как пишется греческая буква Тэта), чтобы отличать ее от буквы О. Ноль без этой палочки был то ли цифрой, то ли буквой. Поэтому и стали иногда говорить «ноль без палочки».
· Ноль внимания — отсутствие внимания.
· Выражение ноль-ноль, употребляемое после указания часа суток, означает: ровно в таком-то часу, без минут. В спорте это же выражение может обозначать ничейный исход игры, состязания.
· С нуля начинать — начинать на пустом месте (разговорное употребление) или приступать к чему-либо без предварительной подготовки.
· Стричь под ноль — то же, что стричь наголо.
· Жест рукой, изображающий цифру 0, в англоговорящих странах имеет значение “ВСЕ В ПОРЯДКЕ”, “ВСЕ НОРМАЛЬНО”, “ВСЕ ОТЛИЧНО”.
Ноль в литературе
В 1964 году была впервые напечатана замечательная книга “ПРИКЛЮЧЕНИЯ НУЛИКА”. Эта “сказка да не сказка”, которую придумали Эмилия Александрова и Владимир Лёвшин о числах, их загадках и странностях. А затем по этой книге был создан музыкальный спектакль, и даже была выпущена пластинка.
Свойство числа 0 очень хорошо иллюстрируется известным стихотворением Самуила Яковлевича Маршака (см приложение 1).
Стихотворение о НУЛЯХ сочинил доктор физико-математических наук Герцен Исаевич Копылов (1925–1976), который составил замечательную задачу о правильном многоугольнике.