Проблемы нецелой размерности пространства становятся предметом серьёзных исследований, которые находят применение и в физике. Одной из математических основ здесь является формализм дифференциального и интегрального исчисления дробного порядка [1], который используется в теориях физических полей.
Проведенные исследования показали важность понятия нецелой размерности прежде всего на микроуровне. Последовательная постановка вопроса требует также изучения следствий возможного отклонения размерности от целочисленного значения в глобальных масштабах Вселенной.
В 1988 году было предложено описание пространств с нецелой размерностью, являющихся аналитическим расширением обычных Евклидовых пространств и обладающих классическими топологическими и метрическими свойствами [2,3]. Топология таких пространств индуцируется специальным метрическим выражением. В настоящее время исследованы метрические и топологические свойства таких пространств, построен аппарат интегро-дифференциального исчисления. Рассмотрены также две возможности гладкой зависимости размерности от положения в пространстве и от измельчения, то есть от используемых масштабов. Такие пространства используются в физических моделях пространства-времени [4-6,7,8,9].
Так техника Салама-Cтратди для моделей типа Калуцы-Клейна с групповыми многообразиями также может быть обобщена на случай произвольной размерности [10].
С другой стороны, был предложен альтернативный компактификационной схеме Калуцы-Клейна механизм описания гравитационного электромагнитного и Янг-Миллсовского взаимодействий, основанный на использовании пространств, размерность которых равна 4 на наблюдаемых (обычное пространство-время) и 4+ К на Планковских масштабах [10]. При этом, вообще говоря, компактификация дополнительных измерений может не иметь места, поскольку происходит плавное изменение размерности от 4 до 4+ К с изменением масштаба. Такой механизм позволяет получить более реалистичные спектры масс частиц и содержит существенно больше возможностей.
Ещё один возможный класс теорий – модели гравитационного типа, основанные на геометрии пространств с размерностями, гладко меняющимися от точки к точке. При этом объекты связности и кривизны аналогичны объектам Римановой геометрии, что позволяет строить модели, описывающие те же физические эффекты, что и иные современные гравитационные подходы. Очевидно, физическая интерпретация таких моделей будет существенно отличаться от классических предсказаний, по крайней мере в случае сильных полей и больших отклонений от целого числа измерений.
В конце 80-х годов автором была выдвинута гипотеза, согласно которой размерность нашего пространства не является целым числом, а, меняясь от точки к точке, на самом деле несколько больше числа 3 (при том, что размерность времени меньше 1), и разница может стать заметной вблизи массивных звёзд. Такой подход приводит к предположению, что, может быть, даже Солнце и звёзды излучают свет и тепло именно вследствие небольшого увеличения размерности в областях их расположения, делающего вещество нестабильным. Поэтому, с одной стороны, ускоряются реакции термоядерного синтеза в звёздах, и с другой – происходит распад вещества, сопровождающийся интенсивным выделением света и энергии. В связи с этим пространство в области массивных скоплений должно иметь особые свойства, что означает неприемлемость таких искусственных представлений как о «большом» взрыве и черных дырах (отметим, что последние также с очевидностью противоречат и соображениям экологической безопасности, поскольку разрушающе действуют на общественное сознание и мировоззрение людей).
Исследования пространств с нецелыми размерностями открывают чрезвычайно широкую сферу многообразий, имеющих необычные свойства. Такие многообразия обладают значительными возможностями для описания самых разных пространственных миров и явлений. С другой стороны, при переходе к нецелым размерностям выявляется принципиальная множественность описаний: здесь имеется множество возможных обобщений, то есть расширение в область нецелых размерностей из классических целочисленных принципиально неоднозначно. Само понятие размерности может быть обобщено множеством различных способов. Картина аналогично ранее изученной автором для систем отсчета и систем описаний [12-15]: я думаю, что Природе принципиально не может соответствовать единственной системы описания типа неоднократно обещанных нам единых теорий; фундаментальная множественность описаний лежит в основе мироздания.
В заключение укажем некоторые базисные вопросы, связанные с перспективами подхода. Основные направления, в которых могли бы развиваться дальнейшие исследования пространств с нецелыми размерностями, следующие.
1. Численная реализация процедуры стохастической метризации в случаях как малых, так и больших отклонений размерности от целочисленных значений 1, 2, 3 и др.
2. Построение конкретных моделей решеток в пространствах нецелой размерности (как например, в D=3 – кубические решетки).
3. Построение моделей новых пространств путём задания множеств точек и расстояний между ними, на которые накладываются определенные ограничения (подобно тому, как в целой размерности обращение в 0 соответствующего определителя). Численное моделирование.
4. Некоторые иные модели, также включающие теоретический анализ и численные реализации. Здесь имеется в виду, например, рассмотрение размерностей с небольшими отклонениями от целочисленных D, путем ограничения поворотами на малые углы с замыканием по малым углам.
5. Исследование фрактальных алгоритмов задания пространств с нецелыми размерностями.
Определённый интерес представляет изучение пространств с комплексификацией.
Наконец, следует обратить особое внимание на проблему защиты и сохранения окружающей среды. Стремительный рост катастрофических проблем в этой сфере не может сегодня не обращать на себя внимание, и поиск путей преодоления трудностей в этой сфере, включая осознанные и целенаправленные действия по защите Природы – долг каждого современного учёного.
Литература
1. Oldham K.B., Spanier J. (1974) The fractional calculus. Academic Press, New York and London, 1974.
2. Koloskov V.Yu. (1988) Geometry of Spaces with Non-Integer Dimen-sion: Stochastic Metrization. TPD Preprint P-0007/88, July, Moscow.
3. Koloskov V.Yu. (1990) Metrization of Spaces with Fractional Dimension. Inter. Congress of Mathematicians ICM-90, Short Com., August 21-29, Kyoto, p. 57.
4. Koloskov V.Yu. (1991) Especial Space Explorations, 2(3), 1; 11.
5. Koloskov V.Yu. (1991) Especial Space Explorations, 3(4), 1.
6. Koloskov V.Yu. (1991) Journal of the Math. Soc. SQUIRREL, 1, 2&3, 1;7.
7. Koloskov V. Yu. (1992) Especial Space Explorations, 19-48
8. Koloskov V. Yu. (1994) Especial Space Explorations, 8 (C1), 78.
9. Koloskov V. Yu. (1995) Especial Space Explorations, 9 (C2), 20.
10. Koloskov V.Yu. (1992) Il Nuovo Cimento, 107B, 9, 1051.
11. Koloskov V.Yu. (1992) Especial Space Explorations, 4 (PI), 19, 25, 26, 29, 32, 35.
12. Koloskov V. Yu. (1993) Space: Systems of Reference and Systems of Descriptions, Part I, Belka, Moscow.
13. Koloskov V. Yu. (1993) Space: Systems of Reference and Systems of Descriptions, Parts II and III, Belka, Moscow.
14. Koloskov V.Yu. (1985) Lett. Nuovo Cimento, 44, 179.
15. Колосков В. Ю. (2004) Фундаментальная картина мира, в сб. "Космос, время, энергия. Сборник статей, посвящённых 100-летию Д.Д. Иваненко" — М.: "Белка", 2004. — 415 с. (статья также доступна в сети Интернет).