Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.

Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры (их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.

ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫВ R₂

Понятие об уравнении линии на плоскости.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом , и точкой – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.

Определение 1. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение

с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты и каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Пример. 1) или уравнение биссектрисы и координатных углов (рис. 1).

2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса (рис. 2.):

или

Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности, что левая часть уравнения содержит еще и другие символы: и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении:

параметрами являются и , а в уравнении окружности:

параметр - радиус и координаты центра .

Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.

Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:

(1)

(2)

(3)

Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.

Определение 2. Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени , называется алгебраической линией порядка.

Прямая линия на плоскости

Вектор - перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором прямой, а вектор , параллельный прямой, назовем направляющим вектором (рис. 3.). Пусть - угол между прямой и положительным направлением оси , угол наклона прямой, - угловой коэффициент прямой.

Вектор назовем приведенным направляющим вектором.

Типы уравнений прямой.

Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой линии в системе координат.

1) Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору имеет вид:

(1)

Оно вытекает из условия того, что скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Действительно, возьмем на прямой произвольную точку . Образуем текущий вектор , направленный из точки в точку . Этот вектор будет иметь координаты , и направлен он будет вдоль прямой. Второй вектор – это данный вектор . Скалярное произведение этих векторов равно нулю, отсюда и вытекает уравнение прямой.

2) Общее уравнение прямой линии:

(2)

где коэффициенты при неизвестных суть координаты нормального вектора прямой. Действительно, раскроем скобки в предыдущем уравнении:

Теорема 1. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.

Следствия.

a) – уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),

б) - уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),

в) - прямая линия, проходящая через начало координат.

Замечание. При переменном коэффициенте - это будут уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.

3) Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , параллельно данному вектору (каноническое):

(3)

Вектор вдоль прямой коллинеарен вектору , отсюда это условие.

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

(4)

Замечание. При переменном коэффициенте уравнение называется уравнением пучка прямых линий, проходящих через точку .

5) Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом (рис. 4):

(5)

Здесь . К этому виду нельзя привести прямую, параллельную оси .

6) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

(6)

Действительно, пусть даны две точки и , через которые должна пройти наша прямая. На этой прямой возьмем текущую точку и образуем два вектора: и . Эти два вектора коллинеарные, отсюда и вытекает уравнение.

Замечание. Если , то уравнение прямой ; если , то .

Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.

1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:

где нормальные векторы: и ₂, - угол между векторами и , т.е. угол между прямыми. Тогда:

(7)

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:

(8)

Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов и :

(9)

2) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами (рис. 5): ,

где . Тогда

Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. , , , , (*).

За принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол до совмещения со второй прямой.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояние точки от прямой определяется формулой:

(10)

Доказательство смотри в другом файле.

Замечания.

1. Если две прямые и заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,

(11)

Пример 1. Даны точки , , .

Найти:

1) Уравнение прямой .

Согласно уравнению (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:

, или .

2) Уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой .

Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка это точка , параллельно прямой значит перпендикулярно ее нормальному вектору . Следовательно, запишем

3) Уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точка это точка . Согласно уравнению (3), запишем

4) Уравнение медианы треугольника .

На медиане образуем текущий вектор .

Найдем координаты точки - середины стороны :

Образуем вектор , расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы :

, или .

5) Уравнение высоты .

На высоте возьмем текущую точку и образуем текущий вектор . Так как , где , то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой (скалярное произведение векторов равно нулю):

или .

6) Длину высоты .

Заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки до прямой . Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой .

На стороне образуем текущий вектор .

Запишем условие параллельности векторов , где :

, или в общем виде .

Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:

Пример 2. Дана прямая : и точка .

Найти:

1) Для прямой уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент , отрезок, отсекаемый по оси ординат.

Разрешив уравнение прямой относительно , получаем уравнение с угловым коэффициентом:

: . Отсюда , .

2) Нормаль и направляющий вектор прямой - .

Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой , есть координаты нормального вектора, то есть .

Поскольку направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):

где .

Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например, , тогда , то есть . Получаем направляющий вектор .

3) Каноническое уравнение прямой .

Для составления канонического уравнения (3) прямой нам необходимо знать точку , лежащую на , и направляющий вектор . Так как координаты вектора были получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки .

Зафиксируем произвольное значение, например, и подставим его в уравнение прямой . Получим . Следовательно, .

Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой (10), находим:

4) Уравнение прямой , параллельной - и проходящей через точку .

Прежде всего, заметим, что точка не лежит на прямой , поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую , проходящую через параллельно , но не совпадающую с .

Пусть - текущая точка прямой . Так как текущий вектор перпендикулярен вектору нормали прямой , то . Отсюда получаем уравнение прямой :

или

5) уравнение прямой , перпендикулярной - и проходящей через точку .

Пусть - текущий вектор прямой . Из условия параллельности и нормали прямой , получаем уравнение :

Пример 3. Проверить, являются ли прямые линии

a) Параллельными.

Прямые и будут параллельны, если их нормали . Из общего уравнения прямой найдем нормаль . Чтобы найти нормаль ₂ приведем уравнение прямой к общему виду: . Отсюда .