Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры (их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫВ R2
Понятие об уравнении линии на плоскости.
Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом , и точкой – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.
Определение 1. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение
с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты и каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Пример. 1) или уравнение биссектрисы и координатных углов (рис. 1).
2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса (рис. 2.):
или .
Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности, что левая часть уравнения содержит еще и другие символы: и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении:
параметрами являются и , а в уравнении окружности:
параметр - радиус и координаты центра .
Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.
Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:
(1)
(2)
(3)
Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.
Определение 2. Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени , называется алгебраической линией порядка.
Прямая линия на плоскости
Вектор - перпендикулярный прямой, назовем нормальным вектором прямой, а вектор , параллельный прямой, назовем направляющим вектором (рис. 3.). Пусть - угол между прямой и положительным направлением оси , угол наклона прямой, - угловой коэффициент прямой.
Вектор назовем приведенным направляющим вектором.
Типы уравнений прямой.
Название уравнения определяется названием постоянных величин, определяющих положение прямой линии в системе координат.
1) Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному вектору имеет вид:
(1)
Оно вытекает из условия того, что скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.
Действительно, возьмем на прямой произвольную точку . Образуем текущий вектор , направленный из точки в точку . Этот вектор будет иметь координаты , и направлен он будет вдоль прямой. Второй вектор – это данный вектор . Скалярное произведение этих векторов равно нулю, отсюда и вытекает уравнение прямой.
2) Общее уравнение прямой линии:
(2)
где коэффициенты при неизвестных суть координаты нормального вектора прямой. Действительно, раскроем скобки в предыдущем уравнении:
Теорема 1. Всякая прямая на плоскости имеет уравнение первой степени, и всякое уравнение первой степени является уравнением некоторой прямой.
Следствия.
a) – уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),
б) - уравнение прямой, параллельной оси (, уравнение оси ),
в) - прямая линия, проходящая через начало координат.
Замечание. При переменном коэффициенте - это будут уравнения пучка прямых, проходящих через начало координат.
3) Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку , параллельно данному вектору (каноническое):
(3)
Вектор вдоль прямой коллинеарен вектору , отсюда это условие.
4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:
(4)
Замечание. При переменном коэффициенте уравнение называется уравнением пучка прямых линий, проходящих через точку .
5) Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом (рис. 4):
(5)
Здесь . К этому виду нельзя привести прямую, параллельную оси .
6) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
(6)
Действительно, пусть даны две точки и , через которые должна пройти наша прямая. На этой прямой возьмем текущую точку и образуем два вектора: и . Эти два вектора коллинеарные, отсюда и вытекает уравнение.
Замечание. Если , то уравнение прямой ; если , то .
Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.
1) Пусть прямые линии заданы общими уравнениями:
,
где нормальные векторы: и 2, - угол между векторами и , т.е. угол между прямыми. Тогда:
(7)
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности их нормальных векторов:
(8)
Условие перпендикулярности прямых – ортогональность векторов и :
(9)
2) Пусть прямые линии заданы с угловыми коэффициентами (рис. 5): ,
где . Тогда
.
Это вытекает из формулы тангенса суммы углов. , , , , (*).
За принимаем угловой коэффициент той прямой, которую надо вращать против хода часовой стрелки, чтобы обойти угол до совмещения со второй прямой.
Условие параллельности прямых: .
Условие перпендикулярности прямых: .
Расстояние точки от прямой определяется формулой:
(10)
Доказательство смотри в другом файле.
Замечания.
1. Если две прямые и заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит,
(11)
Пример 1. Даны точки , , .
Найти:
1) Уравнение прямой .
Согласно уравнению (6) (уравнение прямой, проходящей через две точки), запишем:
, или .
2) Уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно прямой .
Согласно уравнению (1), (уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору) точка это точка , параллельно прямой значит перпендикулярно ее нормальному вектору . Следовательно, запишем
.
3) Уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно прямой .
Перпендикулярно прямой, значит параллельно ее нормальному вектору, в нашем случае . Точка это точка . Согласно уравнению (3), запишем
4) Уравнение медианы треугольника .
На медиане образуем текущий вектор .
Найдем координаты точки - середины стороны :
Образуем вектор , расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы :
, или .
5) Уравнение высоты .
На высоте возьмем текущую точку и образуем текущий вектор . Так как , где , то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой (скалярное произведение векторов равно нулю):
или .
6) Длину высоты .
Заметим, что длина высоты равна расстоянию от точки до прямой . Чтобы воспользоваться формулой (10), сначала найдем уравнение прямой .
На стороне образуем текущий вектор .
Запишем условие параллельности векторов , где :
, или в общем виде .
Теперь, подставляя известные данные в формулу (10), имеем:
.
Пример 2. Дана прямая : и точка .
Найти:
1) Для прямой уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент , отрезок, отсекаемый по оси ординат.
Разрешив уравнение прямой относительно , получаем уравнение с угловым коэффициентом:
: . Отсюда , .
2) Нормаль и направляющий вектор прямой - .
Коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой , есть координаты нормального вектора, то есть .
Поскольку направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие (перпендикулярность векторов):
где .
Дадим величине какое-нибудь значение. Пусть, например, , тогда , то есть . Получаем направляющий вектор .
3) Каноническое уравнение прямой .
Для составления канонического уравнения (3) прямой нам необходимо знать точку , лежащую на , и направляющий вектор . Так как координаты вектора были получены нами ранее в задание 2, осталось найти координаты точки .
Зафиксируем произвольное значение, например, и подставим его в уравнение прямой . Получим . Следовательно, .
Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой (10), находим:
.
4) Уравнение прямой , параллельной - и проходящей через точку .
Прежде всего, заметим, что точка не лежит на прямой , поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую , проходящую через параллельно , но не совпадающую с .
Пусть - текущая точка прямой . Так как текущий вектор перпендикулярен вектору нормали прямой , то . Отсюда получаем уравнение прямой :
или
5) уравнение прямой , перпендикулярной - и проходящей через точку .
Пусть - текущий вектор прямой . Из условия параллельности и нормали прямой , получаем уравнение :
.
Пример 3. Проверить, являются ли прямые линии
,
a) Параллельными.
Прямые и будут параллельны, если их нормали . Из общего уравнения прямой найдем нормаль . Чтобы найти нормаль 2 приведем уравнение прямой к общему виду: . Отсюда .
Поскольку условие параллельности векторов и 2 не выполняется, так как , стало быть, и не параллельны.
б) Перпендикулярными.
Прямые и будут перпендикулярны, если 2. Но условие перпендикулярности для векторов и 2 не выполняется, так как . Следовательно, не перпендикулярна .
в) Найти угол между и .
Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим
.
Так как , , , то .