Вуколовой Елизаветы, НО-117
Дедуктивные умозаключения – основной способ доказательства истинности в математике.
ДЕДУКТИВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – умозаключение, логическая форма которого гарантирует получение истинного заключения при условии одновременной истинности посылок. В дедуктивном умозаключении между посылками и заключением имеет место отношение следования логического; логическое содержание заключения (т.е. его информация без учета значений нелогических терминов) составляет часть совокупного логического содержания посылок.
Впервые систематический анализ одной из разновидностей дедуктивных умозаключений – силлогистических умозаключений, посылками и заключениями которых являются атрибутивные высказывания, – был осуществлен Аристотелем в «Первой Аналитике» и существенным образом развит его античными и средневековыми последователями. Дедуктивные умозаключения, основанные на свойствах пропозициональных логических связок, исследовались в школе стоиков и – особенно подробно – в средневековой логике.
Однако в рамках традиционной логики описывалась лишь небольшая часть дедуктивных умозаключений и отсутствовали точные критерии логической корректности рассуждений. В современной символической логике, благодаря использованию методов формализации, построению логических исчислений и формальных семантик, аксиоматическому методу, исследование дедуктивных умозаключений было поднято на качественно иной, теоретический уровень.
Всякое умозаключение представляет собой логическое следование одних знаний из других, в зависимости от характера этого следования, от направленности хода мысли. В умозаключении различают посылки - высказывания, представляющие исходное знание, и заключение - высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения.
Дедуктивные умозаключения нам необходимы при изучении математики, методики ее преподавания и дидактики. В них мысль движется от общего к частному. В узком смысле слова, принятом в традиционной логике, под термином «дедукция» понимают дедуктивное умозаключение, то есть такое умозаключение, в результате которого получается новое знание о предмете или группе предметов на основании уже имеющегося некоторого знания о них, и применения к ним некоторого правила логики.
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается, прежде всего, в их тесной связи с индуктивными. Собственно поэтому и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения как таковые отсутствуют в курсе математики начальных классов. Здесь дело в том, что для сознательного проведения дедуктивных умозаключений при решении задач необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением. Для того чтобы учащиеся более осознанно могли пользоваться дедуктивными умозаключениями при решении задач, необходимо проводить пропедевтику по исследуемой теме.
Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается прежде всего в их тесной взаимосвязи с индуктивными. Так, методы и приемы обучения младших школьников на этапе усвоения новых знаний в большинстве случаев связаны с индуктивными рассуждениями. Поэтому учителю начальных классов необходимо, во-первых, иметь четкое представление о том, что такое индуктивные рассуждения (умозаключения), во-вторых, осознавать значение данного вида рассуждений для организации познавательной деятельности школьников, в-третьих, методически грамотно осуществлять руководство этой деятельностью.
Суть сводится к тому, что на основе общего суждения, о предмете данного класса и некоторого единичного суждения о каком-то предмете, высказывается новое единичное суждение о том же предмете.
Общее суждение – общая посылка.
единичное суждение – это частная посылка,
новое единичное суждение – умозаключение.
1 класс:
1) Примером одного из первых дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является рассуждение:
«2<3, потому что 2 при счете называют раньше, чем 3».
С его помощью из одного общего суждения (общей посылки) и одного частного суждения (частной посылки) выводится новое частное суждение (заключение).
Общая посылка: если а при счете называется раньше в, то а<в.
Частная посылка: 2 при счете называется раньше трех.
Заключение: 2<3.
2) Уже при составлении таблицы сложения и вычитания учащиеся проводят дедуктивные рассуждения. Например, в ходе составления таблиц учащиеся пользуются правилами:
Общие посылки «Если к данному числу прибавить 1, то получим следующее за ним число при счёте»
В качестве частной посылоки выступает пример:7+1
Заключение 7+1=8, а 8, в свою очередь следует за числом 7
«Если из данного числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число при счете».
3) М1М ч.2 стр.51
Общая посылка: 1 дм=10см
Частная посылка: полоской в 1 дм отмерили 2 дм веревки
Умозаключение: Следовательно, отмерили 20 см
4) Например: У Димы было 7 марок, у Антона 3 марки. На сколько марок больше у Димы, чем у Антона? Учащиеся рассуждают так:
Общая посылка «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.
Частная посылка «В задаче нужно узнать, на сколько марок больше у Димы, чем у Антона.»
Заключение: значит, нужно из марок Димы вычесть марки Антона
2 класс:
1. Общая посылка «Умножение – это сложение одинаковых слагаемых.»
Частная посылка «В примере 100+100+100+100 все слагаемые одинаковые».
Заключение «Значит сумма 100+100+100+100 – это произведение 100*4»
2. Общая посылка – «Если число четное, то оно делится на 2.»
Частная посылка - «Число 38 делится на 2.»
Заключение – «Число 38 – чётное»
3. Общая посылка « У прямоугольника все углы прямые.»
Частная посылка «У четырехугольника АВСД только два прямых угла.»
Заключение «Четырёхугольник ABCД не является прямоугольником»
4. Общая посылка «Периметр – это сумма длин всех сторон.»
Частная посылка «Стороны прямоугольника равны – 6 и 4»
Заключение «6+4 +6+4 – это значение периметра прямоугольника.»
5. Общая посылка – «Действия, записанные в скобках, выполняют первыми.»
Частная посылка – «60-(10+5).»
Умозаключение – «Так как действия, записанные в скобках выполняют первыми, а в выражении 60-(10+5) есть скобки, то сначала складываем 10 и 5, а затем из 60 вычитаем получившуюся сумму. (60-(10+5)=60-15=45).»
6.М2М ч.1 стр.84
27+3=30
30-27=3
30-3=27
Общая посылка: «Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое.»
Частная посылка: «Сумма слагаемых 27 и 3 равна 30»
Умозаключение: «Чтобы второе слагаемое нужно из 30 вычесть 27»
Умозаключение: «Чтобы найти первое слагаемое, нужно из суммы 30 вычесть 3»
4*5=20
5*4=__
Общая посылка: «От перестановки множителей результат умножения не изменяется»
Частная посылка: «4*5 –множители, которые во 2 выражении переставили, их результат умножения равен 20»
Умозаключение: «Следовательно, 5*4 тоже будет равно 20»
3 класс:
1) Общая посылка «Среди равнобедренных треугольников есть такие, у которых равны три стороны. Такие треугольники называются равносторонними»
Частная посылка «У треугольника АВС стороны по 5 см»
Заключение «Треугольник АВС равносторонний»
2) Выбор действия для решения простой арифметической задачи также часто обосновывается дедуктивно. Приведем пример такого обоснования при решении задачи: «В одной книге 36 страниц, а в другой — 18 страниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во второй?»
Общая посылка: «Все задачи, в которых требуется узнать, во сколько раз одно число больше другого, решаются делением.»
Частная посылка: «В этой задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше,
чем 18.»
Заключение: «Для ответа на вопрос задачи надо 36 разделить на 18.»
3) Требуется решить уравнение: 7*х=14.
Для нахождения неизвестного множителя используется правило:
Общая посылка - «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)»
Частная посылка – «В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7.»
Заключение: «Нужно 14 разделить на 7, получим 2».
4) Общая посылка «Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно найти его длину и ширину, а потом вычислить произведение полученных чисел»
Частная посылка «Прямоугольник со сторонами 12 и 4»
Заключение «Так как при вычислении площади прямоугольника, нужно найти его длину и ширину и потом вычислить произведение полученных чисел, а данная фигура является прямоугольником, со сторонами 12 и 4, то его площадь можно вычислить так: 12*4=48.»
4 класс:
1) Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:
П: 6 = 27054 П:7= 4083 (ост. 4)
Учащиеся высказывают
Общая посылка: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое».
Частная посылка: «значение частного 27054, делитель - б».
Заключение: «27054*6»
2) Например, при решении составного уравнения
(4* b): 10 = 236, от учащихся уже требуется умение построить цепочку из дедуктивных умозаключений.
Общая посылка: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Частная посылка: в этом уравнении неизвестно делимое.
Заключение: 4* b = 236*10.
3) Пример
Общая посылка «Число, в котором есть единицы разных разрядов, можно заменить суммой разрядных слагаемых.»
Частная посылка «В числе 4239 есть единицы разных разрядов»
Умозаключение «Так как число, в котором есть единицы разных разрядов, можно заменить суммой разрядных слагаемых, а в числе 4239 есть единицы разных разрядов, то число 4239 можно представить в виде: 4239=4000+200+30+9»
4) Пример
Общая посылка: «если значение частного умножить на делитель, то получим делимое».
Частная посылка: «значение частного – 32840, делитель – 5».
Заключение: «32840*5».