Классическое определение вероятности.
, где m - число благоприятствующих событию A исходов, n - число всех элементарных равновозможных исходов.
Теорема сложения вероятностей.
| Теорема сложения вероятностей несовместных событий: | Теорема сложения вероятностей совместных событий: |
| 
|
| Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. | Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. |
| - Подброшена монета. Появление орешки или герба являются несовместными событиями. - Получение студентом на экзамене оценки 2, 3, 4, или 5 являются несовместными, т.к. одна из этих оценок исключает другую | - Два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут - Бросая игральную кость можно выделить такие события как нечетное число очков и кратное трём (выпадет 3 – события совместны) |
Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Два события называются совместными, если наступление одного из них не исключает появление другого.
Теорема умножения вероятностей.
| Теорема умножения вероятностей независимых событий: | Теорема умножения вероятностей зависимых событий: |
| 
|
| события, где очередной эксперимент не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов. | P (B/A) - условная вероятность события B при условии, что произошло событие A P (A/B) - условная вероятность события A при условии, что произошло событие B |
4)Условная вероятность. Формула полной вероятности.
Условная вероятность PА (B) или P (В/A) (два обозначения) -
отсюда получаем формулы для условной вероятности
Формула полной вероятности:
Позволяет вычислить вероятность интересующего события чрез условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.
Условная вероятность. Формула Байеса.
Формула Байеса
Позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие.
6)Схема Бернулли. Понятие независимых испытаний. Вычисление вероятности m успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли (m ≤ n)
Схема Бернулли (схема повторных независимых испытаний)
Проводятся n опытов, в каждом из которых может произойти определённое событие («успех») с вероятностью p (или не произойти «неудача» с вероятностью q= 1-p) Задача – найти вероятность получения ровно k успехов в этих n опытах.
Случайные величины. Определение математического ожидания и дисперсии (дискретный и непрерывный случаи)
Математическое ожидание M [X] (в статистике обозначается µ ) – среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной)
Дисперсия D [X] – мера разброса значений случайной величины X относительно её математического ожидания M (X)
Дискретные случайные величины. Плотность вероятности, функция распределения, их основные свойства.
Дискретная случайная величина – случайная величина, множество значений которой не более чем счётно (то есть конечно или счётно) (можно пронумеровать натуральными числами)
Плотность вероятности – отражение изменения вероятности на конкретном элементе множества.
Функция плотности вероятности характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.
Функция распределения – функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное x, где х – произвольное действительное число.
