МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
_
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И
ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Москва 2007
С о с т а в и т е л и:
доцент, кандидат физико-математических наукВ.Н.Борзунов
Примеры решения задач по теории пределов
Основные определения
Определение 1. Число A называется пределом последовательности 
, если для любого 
можно вычислить число 
(зависящее от ε) такое, что для всех натуральных 
выполняется 
.
В этом случае пишут 
или 
и говорят, что последовательность сходится к числу A.
Пример.1. Используя определение предела последовательности, доказать, что 
.
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство 
, то это значит, что . Рассмотрим 
. Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на 
, учитываем, что n>0 и 
, знак неравенства не изменится. Получаем, что 
. Таким образом, за число 
можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных 
, выполняется , следовательно .
Пример.2. Используя определение предела последовательности, доказать, что 
.
◄ Возьмем произвольное число . Рассмотрим 
. Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, 
При всех натуральных , выполняется 
, следовательно .
Пример.3. Используя определение предела последовательности, доказать, что 
.
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство 
, то это значит, что . Рассмотрим 
. Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что 
. Таким образом, за число можно принять число 
или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных 
, выполняется , следовательно .
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого можно вычислить число 
(зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых 
, выполняется 
.
В этом случае пишут 
или f(x)→A при x→a и говорят, что предел функции f(x) в точке a существует и равен числу A.
Пример.4. Используя определение предела функции, доказать, что 
.
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число δ(ε)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 
, будет справедливо неравенство 
, то это значит, что . Рассмотрим 
. Таким образом, за число δ можно принять число 
или любое другое положительное число, меньшее, чем . При всех x, для которых справедливо 
, выполняется , следовательно .
Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) в точке a слева, если для любого 
можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых 
, выполняется .
В этом случае пишут 
или f(x)→A при x→a–o и говорят, что предел функции f(x) в точке a слева существует и равен числу A.
Определение 4. Число A называется пределом функции f(x) в точке a справа, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых 
, выполняется .
В этом случае пишут 
или f(x)→A при x→a+o и говорят, что предел функции f(x) в точке a справа существует и равен числу A.
Определение 5. Число A называется пределом функции f(x) при x→–∞, если для любого можно вычислить число xo=xo(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x<xo, выполняется .
В этом случае пишут 
или f(x)→A при x→–∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→–∞ существует и равен числу A.
Определение 6. Число A называется пределом функции f(x) при x→+∞, если для любого можно вычислить число xo=xo(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x>xo, выполняется .
В этом случае пишут 
или f(x)→A при x→+∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→+∞ существует и равен числу A.
Пример.5. Используя определение предела функции, доказать, что 
.
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число xo(ε) такое, что для всех x>xo, будет справедливо неравенство 
, то это значит, что Рассмотрим 
. Неравенство имеет два решения: 
или 
. Поскольку вычисляется предел f(x) при x→+∞, то выбираем первое решение xo= 
. При всех x>xo, выполняется , следовательно 
. Второе решение 
соответствует значениям x→–∞, предел f(x) при x→–∞ также равен 
, 
.
Некоторые свойства пределов функций
Пусть: C постоянное число,
предел функции f(x) существует в точке a, 
,
предел функции g(x) существует в точке a, 
.
Тогда: 
,
,
,
,
, если 
.
Предел постоянной величины равен значению этой величины. При вычислениях, константу можно и рекомендуется выносить за знак предела. В условии, когда функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке, функции f(x)+g(x), f(x)∙g(x) также имеют пределы в этой точке. При дополнительном условии , существует предел функции f(x)/g(x).
Указанные свойства пределов функций будут соответственно справедливы в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞.
Эквивалентные функции
Определение 7. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x→a, если 
.
В этом случае пишут f(x) ~ g(x) при x→a и говорят, что при x→a функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x) и наоборот, функция g(x) асимптотически ведет себя как функция f(x). При вычислении пределов с использованием эквивалентных функций применяют следующие теоремы:
1. Пусть f(x) ~ g(x) при x→a, тогда 
, если один из этих пределов существует.
2. Пусть f(x) ~ f1(x) и g(x) ~ g1(x) при x→a, тогда 
, если один из этих пределов существует.
Можно сравнивать функции f(x) и g(x) в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞, при этом вычисляют пределы в соответствующих предельных точках. Например, если 
, то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны в точке a слева и при x→a–o функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x). Если 
, то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны при x→+∞ и пишут f(x) ~ g(x) при x→+∞.
§4. Таблица эквивалентных функций при x→0
1. sin(x) ~ x; 6. ax ~ 1+x∙ln(a); 11. sh(x) ~ x, 
;
2. cos(x) ~ 
; 7. ex ~ 1+x; 12. ch(x) ~ 
, 
;
3. tg(x) ~ x; 8. loga(1+x) ~ 
; 13. th(x) ~ x, 
;
4. arcsin(x) ~ x; 9. ln(1+x) ~ x;
5. arctg(x) ~ x; 10. (1+x)α ~ 1+α∙x.