Физический смысл производной
1.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
2.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
3.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени 
с.
4.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
5.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
6.
Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
Геометрический смысл производной, касательная
1.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
2.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2 x − 11 или совпадает с ней.
3.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.
4.
На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x 0.
5.
На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f (x) в точке x 0.
6.
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
7.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.
8.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.
9.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.
10.
На рисунке изображён график функции 
и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.
11.
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).
12.
На рисунке изображен график производной функции 
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой 
или совпадает с ней.
13.
На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
14.
Прямая 
параллельна касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
15.
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите абсциссу точки касания.
16.
Прямая y = 3 x + 1 является касательной к графику функции 
ax 2 + 2 x + 3. Найдите a.
17.
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите 
18.
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите 
, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
19.
На рисунке изображен график производной функции f (x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f (x) параллельна прямой y = 6 x или совпадает с ней.
20.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Найдите значение производной функции g (x) = 6 f (x) − 3 x в точке x 0.
21.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке 
. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
22.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
23.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции 
в точке x 0.
24.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
25.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
26.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке 
. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
27.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
28.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 
в точке x 0.
29.
На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x 0. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции 
в точке x 0.
30.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой 
Найдите значение производной функции 
в точке
31.
На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке
Применение производной к исследованию функций
1.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале 
Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
2.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
3.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f (x).
4.
На рисунке изображён график 
— производной функции , определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция принимает наибольшее значение? 
5.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f (x) принимает наименьшее значение?
6.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
7.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f (x) на отрезке [−13;1].
8.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
9.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
10.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
11.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
12.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
13.
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0.
14.
На рисунке изображён график - производной функции f (x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x 1, x 2, x 3,..., x 8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?
15.
На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: 
, 
В скольких из этих точек функция убывает?
16.
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
17.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x 1, x 2, x 3,..., x 9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
18.
На рисунке изображён график функции 
— производной функции f (x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f (x). 
19.
На рисунке изображён график функции y = f (x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7. В скольких из этих точек производная функции f (x) отрицательна?
20.
Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x 0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).
21.
Функция определена на промежутке 
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
22.
На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: 
, 
, 
, , В скольких из этих точек производная функции положительна?
23.
На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , 
В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
24.
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
25.
На рисунке изображён график функции — производной функции 
определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции