| Мгновенная скорость |  или 
|
| Мгновенное ускорение | 
|
| Тангенциальное ускорение | 
|
| Нормальное ускорение | 
|
| Полное ускорение |  ; 
|
| Уравнения равнопеременного поступательного движения | 
|
| Угловая скорость | 
|
| Угловая скорость для равномерного вращательного движения |  или w=2p×n
|
| Угловое ускорение | 
|
| Уравнения равнопеременного вращательного движения | 
|
| Связь между линейными и угловыми характеристиками вращательного движения | S=jR, u=wR
 , 
|
| Второй закон Ньютона для поступательного движения | 
|
| Второй закон Ньютона для поступательного движения при m =const | 
|
| Импульс материальной точки массы m, движущейся со скоростью u | 
|
| Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел | 
|
| Сила трения (скольжения) | Fтр=kN |
| Работа переменной силы на пути s | 
|
| Мощность | 
|
| Сила упругости | Fупр=-kDx |
| Сила гравитационного взаимодействия | 
|
| Потенциальная энергия упруго- деформированного тела | 
|
| Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела, находящегося в однородном поле тяжести | П=mgh |
| Кинетическая энергия тела | 
|
| Закон сохранения механической энергии | Е=К+П=const |
| Момент инерции материальной точки | 
|
| Моменты инерции некоторых тел массой m: | |
| сплошного цилиндра (диска) радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра | 
|
| полого цилиндра радиуса R относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра | 
|
| шара радиуса R относительно оси вращения, проходящей через центр масс шара | 
|
| тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через центр масс стержня | 
|
| тонкого стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через один из концов стержня | 
|
| тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера) | 
|
| Момент силы относительно оси вращения | 
|
| Основное уравнение динамики вращательного движения | 
|
| Основное уравнение динамики вращательного движения при J=const | 
|
| Момент импульса твердого тела относительно оси вращения | 
|
| Закон сохранения момента импульса для изолированной системы | 
|
| Кинетическая энергия вращающегося тела | 
|
| Работа при вращательном движении | dA=Mdj |
| Зависимость длины тела и времени от скорости в релятивистской механике | 
|
| Зависимость массы частицы от скорости u, сравнимой со скоростью света | 
|
| Энергия покоя частицы | 
|
| Полная энергия частицы, движущейся со скоростью u, сравнимой со скоростью света | 
|
| Кинетическая энергия релятивистской частицы | 
|
| Теорема сложения скоростей в теории относительности | 
|
| Уравнение гармонического колебания | 
|
| Скорость колеблющейся материальной точки | 
|
| Ускорение колеблющейся материальной точки | 
|
| Период колебаний пружинного маятника | 
|
| Период колебаний математического маятника | 
|
| Полная энергия при гармоническом колебании | 
|
| Длина волны | 
|
| Уравнение бегущей волны | 
|
Примеры решения задач
1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct3, где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c3. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с.
| Дано: | Решение: |
| x=A+Bt+Ct3 А=3 м В=2,5 м/с С=0,25м/c3 t1=1 с t2=6 с | Средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, тогда модуль средней скорости равен:
 , где
 =3+2,5×1+0,25×13=5,75 м
|
| Найти: <u> -? < а > -? |  =3+2,5×6+0,25×63=72 м
Средняя скорость: 
|
Среднее ускорение это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, тогда модуль среднего ускорения равен:
 , где
Среднее ускорение: 
Ответ:  ;  .
|
2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
. Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
| Дано: | Решение: |
r=0,1 м
t=4 с
| Угловая скорость w вращающегося тела равна первой производной от угла поворота от времени:
|
| Найти: а -? | В момент времени t=4 с: w=20-4×4=4 рад/с |
| Угловое ускорение e вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:
 рад/с2
Материальная точка, принадлежащая телу, движется по окружности радиуса r. Движение материальной точки ускоренное с постоянным угловым ускорением (e=const).
Следовательно, тангенциальное ускорение аt будет посто- янным, а нормальное ускорение аn непрерывно возрастаетсо временем, т.е. вектор полного ускорения точки со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.
Полное ускорение точки, движущейся по окружности, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения  , направленного по касательной к траектории и нормального ускорения  , направленного к центру кривизны траектории. Модуль полного ускорения:
 (1)
|
Тангенциальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аt=e×r, (2)
где e - угловое ускорение тела.
Нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аn=w2r, (3)
где w - угловая скорость тела.
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем
 (4)
| |
Подставив найденные значения w и e и заданное значение
r в формулу (4), получим:
 м/с2
Направление полного ускорения определится, если найти угол, который вектор ускорения образует с нормалью к траектории (см. рис.):
 или  (5)
По формулам (2) и (3) найдем значения  и  :
=-0,4 м/с2, =1,6 м/с2.
Подставив эти значения и значение полного ускорения в формулы (5), получим: cosa=0,97, sina=0,24.
| |
| Пользуясь тригонометрическими таблицами или калькулятором, найдем значение угла a: a»14°. Ответ: a=1,65 м/с2, a»14°. |
3. Автомашина массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути, и за 5 мин преодолевает путь S=5 км. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность.
| Дано: | Решение: |
| m=1,8 т=1800 кг h=3 м l=100 м t=5 мин=300 с S=5 км=5000 м m=0,1 |  Сделаем рисунок. Покажем, какие силы действуют на автомашину.
|
| Найти: A-? P-? | Уравнение движения автомашины в векторной форме:
|
Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y (см. рис.):
ox: 
oy: 
Из последнего  , тогда  .
Сила тяги двигателя автомашины будет равна:
Работа, совершаемая двигателем автомашины:
 , где
 ,  , 
Подставляем числовые значения и получаем:
 =
=12,7 МДж
Средняя мощность, развиваемая двигателем автомашины:
 кВт
| |
Максимальная мощность, развиваемая двигателем автомашины:
 , где 
Подставляем числовые значения и получаем:
 84 кВт
Ответ: A=12,7 МДж; áPñ=42 кВт; Pmax=84 кВт.
|
4. Шар массой m1=3 кг движется со скоростью u1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
| Дано: | Решение: |
| m1=3 кг u1=2 м/с m2=5 кг | Работа будет равна изменению кинетической энергии системы:  , (1)
|
| Найти: A -? | где кинетическая энергия шаров до столкновения:
 (2)
|
Она равна кинетической энергии первого шара, т.к. второй шар покоится.
 (3)
кинетическая энергия шаров после столкновения. Здесь скорость u – скорость системы двух шаров после столкновения. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса:
 (4)
Из выражений (1) – (4) окончательно получаем:
Подставляем числовые значения и получаем:
 Дж
Ответ: А=3,74 Дж
|
5. Камень брошен со скоростью u0=15 м/с под углом a=60° к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг.
| Дано: | Решение: |
| u0=15 м/с a=60° t=1 с m=0,2 кг | Движение камня сложное, криволинейное: вдоль оси OX равномерное с постоянной скоростью
 , (1)
а вдоль оси OY равнопеременное с постоянным ускорением g=9,8 м/с2:.
|
| Найти: Wк -? Wп -? W -? |  (2)
|
| |
Через t=1 с скорость камня будет равна:
 (3)
| |
Кинетическая энергия камня через t=1 с будет равна:
Найдем на какой высоте окажется камень через t=1 с:
Тогда потенциальная энергия камня в этот момент равна:
Полная механическая энергия камня через t=1 с равна:
В верхней точке траектории  , следовательно, полная скорость в этой точке равна:  .
Тогда кинетическая энергия в верхней точке траектории равна:
Чтобы найти потенциальную энергию в верхней точке траектории, найдем максимальную высоту подъема.
| |
Для этого найдем время подъема. В верхней точке траектории , следовательно,
Отсюда получаем время подъема:
Зная время подъема, можно найти максимальную высоту подъема:
Найдем потенциальную энергию в верхней точке траектории:
| |
Полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна:
Видно, что выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна полной механической энергии камня через 1 с после начала полета.
Ответ: Wк=5,6 Дж; Wп=16,9 Дж; W=22,5 Дж.
|
6. Две гири с массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m=1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
| Дано: | Решение: |
| m1=2 кг m2=1 кг m=1 кг | Запишим уравнения движения гирь:
|
| Найти: a -? Т1 -? Т2 -? | 
|
| Запишим эти уравнения в проекциях на ось Y:
 (1)
 (2)
Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, и разность сил натяжения будет создавать момент сил, вращающий блок.
Запишим основной закон динамики:
 , (3)
|
где  , а  - момент инерции блока.
Решая (1) - (3) совместно, найдем
 м/с2 (4)
| |
Подставляя (4) в (1) и (2), получим
 =14 Н
 =12,6 Н
Ответ: a=2,8 м/с2; T1=14 Н; T2=12,6 Н.
|
7. Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n=1/6 с-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
| Дано: | Решение: |
| R=1,5 м m1=180 кг n=1/6 с-1 m2=60 кг | По закону сохранения момента импульса:
 , (1)
где Jпл, Jчел – моменты инерции платформы и стоящего в ее центре человека; w1 – угловая скорость платформы с
|
| Найти: u -? | человеком, стоящим в ее центре;  - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; w2 – угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:
u=w2R (2)
Определив из уравнения (1) w2 и подставив полученное выражение в (2), будем иметь:
 (3)
|
Момент инерции платформы определим как для диска:
Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки:
 , 
| |
| Угловая скорость платформы до перехода человека из центра на край платформы: w=2pn.
Заменив в формуле (3) величины Jпл, Jчел, , и w2 их выражениями, получим:
| |
 
Подставляем числовые значения и получаем:
 м/с
Ответ: u=1 м/с.
|
8. К пружине подвешен груз массой m=10 кг, который совершает колебания с амплитудой 5 см. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l =1,5 см, найти: частоту, период и циклическую частоту вертикальных колебаний пружины, жесткость пружины, полную энергию, максимальную скорость и максимальное ускорение.
| Дано: | Решение: |
| m=10 кг А=5 см=0,05 м F=9,8 Н l =1,5 см=0,015 м | Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид:
, (1)
где s – смещение маятника от положения равновесия;
|
| Найти: n -? T -? w -? k -? W -? umax -? amax -? | А – амплитуда колебаний; w=2pn – циклическая частота;  - частота колебаний; Т – период колебаний; j0 – начальная фаза.
|
Из закона Гука F=k l найдем коэффициент жесткости пружины:  ;  653 Н/м
Зная коэффициент жесткости пружины, найдем период колебаний груза на пружине:
 ;  с
Следовательно, частота и циклическая частота соответст венно равны:
| |
;  Гц; w=2pn=2×3,14×1,25=7,85 с-1
| |
Скорость колебаний:
 , (2)
где umax=Аw - максимальная скорость колебаний.
umax=0,05×7,85=0,4 м/с
Ускорение маятника:
 , (3)
где  - максимальное ускорение.
 м/с2
Полная энергия маятника:
 Дж
Ответ: k=653 Н/м;  Гц; Т=0,8 с; w=7,85 с-1;
umax=0,4 м/с;  м/с2; W=0,77 Дж.
|
9. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 0,75 м.
| Дано: | Решение: |
| u=150 м/с Dx=0,75 м | Разность фаз колебаний двух точек волны:
|
| Найти: n -? | Отсюда длина волны будет равна: 
|
По условию задачи Dj=p - точки колеблются в противоположных фазах.Тогда
l=2×Dx (1)
Длина волны связана с частотой соотношением:
 (2)
Подставляем (1) в (2) и выражаем частоту:
 Гц
| |
| Ответ: n=100 Гц |
10. Протон движется со скоростью 0,9×c. Найти импульс и кинетическую энергию протона.
| Дано: | Решение: |
| u=0,9×с m0=1,67×10-27 кг | Импульс (количество движения) протона:
 (1)
|
| Найти: p -? Wk -? | Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то надо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы: |
 , (2)
где m – масса движущегося протона; m0 – масса покоя протона; u - скорость протона; c=3×108 м/с – скорость света в вакууме.
Подставляем (2) в (1) и получаем:
 кг×м/с
В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется по формуле:
 , (3)
где  - полная энергия протона;  - энергия покоя протона.
Тогда
| |
| Ответ: p=10,3×10-19 кг×м/с; Wk=12×109 Эв |