Родился 24.08 (05.09).1891 года в с. Стойло Курской губернии в семье крестьянина. В 1908 г. окончил Каплинскую второклассную учительскую школу, получил начальное музыкальное образование.
В феврале 1910 г. Адриана Митрофановича перевели в другую школу – в село Старая Лещина Тимского уезда Курской губернии. Здесь произошло судьбоносное знакомство с Леонидом Петровичем Ешиным, политическим ссыльным, народовольцем, который оказал огромное влияние на формирование мировоззрения юноши. Когда Ешин переехал с семьей в Барнаул, Топоров приехал с ними. В городе 22-летний педагог получил место учителя в начальной Петропавловской церковноприходской школе (при Петропавловском соборе).
В 1912 г. приехал в г. Барнаул, работал учителем в церковно-приходской школе, писал театральные рецензии в газ. «Голос Алтая». С 1915 г. учительствовал в с. Верх-Жилинское (ныне Косихинского района).
К 1915 г. А.М. Топоров утвердился во мнении, что его долг – учить крестьянских детей. Он лично просил инспектора народных училищ Барнаульского уезда В.М. Курочкина направить его в одну из глухих деревень. Так, с сентября 1915 г. Топоров стал учителем начальной школы в селе Верх-Жилинском Косихинской волости Барнаульского уезда. Весной 1920 г. выходцы из села в трех километрах от Верх-Жилино организовали коммуну «Майское утро». Крестьяне только что организованной коммуны пригласили Топорова работать в свою школу. Кроме образовательного процесса были созданы театр, струнный оркестр и хор, которыми он сам и дирижировал. В оркестре имелись скрипки, альты, виолончель, домры, гитары, мандолины, балалайки и фисгармония, это был единственный подобный коллектив среди всех колхозов Сибири. Художественную самодеятельность «Майского утра» знали не только в Косихинском районе, а экспонаты, изготовленные в школе, были представлены на Всесоюзной выставке. Благодаря специальной научной литературе, выписываемой Топоровым, в коммуне стали выращивать помидоры, арбузы, которых косихинская земля раньше не знала, животноводство вышло на качественно новый уровень.
Из всей многосторонней культурно-просветительской деятельности А.М. Топорова выделялась его новаторская методика литературных читок. Перед крестьянами коммуны «Майское утро» Адриан Митрофанович читал вслух произведения разных писателей, после чего организовывалось обсуждение прочитанного. Коммунары делились впечатлениями от произведений, обсуждали литературных героев, осуждая или одобряя их поступки, размышляли. Крестьяне, имевшие за плечами лишь общее начальное образование, раскрывали произведения совершенно в неожиданном свете, проводя параллели между литературными героями и повседневными реалиями коммунарского быта. Топоров записывал высказывания слушателей о произведениях Пушкина, Есенина, Бабеля, Пастернака, Новикова-Прибоя и др. Эти записи легли в основу его уникальной книги «Крестьяне о писателях», вышедшей в Москве в 1930 г. с подзаголовком «Опыт, методика и образцы крестьянской критики современной художественной литературы» и переизданной в 1963 г. Книга получила высокую оценку М. Горького, В. Вересаева, Е. Пермитина.
Стиль работы Топорова в коммуне много раз подвергался критике со стороны партийных властей, его обвиняли в контрреволюционности, в скрытой враждебности к партии и Советской власти, в игнорировании руководства местных организаций и т.п. В 1932 г., после очередной проверки, райком принял решение о снятии учителя Топорова с работы в коммуне «Майское утро» как проводящего в школе «чуждую идеологию в воспитании детей». Он был вынужден уехать с Алтая.
С 1932 г. А.М. Топоров жил и работал на Урале, в Подмосковье. Закончил исторический факультет Пермского государственного пединститута.
17 мая 1937 г. А.М. Топоров был арестован в средней школе № 5 г. Раменское Московской области и осужден по ст. 58 УК РСФСР на 5 лет исправительно-трудовых лагерей. Учитывая его активную жизненную позицию и многочисленные критические публикации, прошлые разбирательства, было не трудно, основываясь на доносе, подвести Топорова под антисоветскую деятельность. А.М. Топоров прошел 6 тюрем и 2 лагеря, на себе испытав нечеловеческие трудности выживания в заключении. Освободился только в 1943 г., т.е. на год позже, так как из-за войны многих заключенных в положенный срок на свободу не выпускали. После освобождения в 1943 г. работал разнорабочим в колхозе «Кашка» Тетюшского района Татарской АССР. В июне 1944 г. получил разрешение вернуться в родное с. Стойло, где был вынужден работать простым рабочим в колхозе. В 1946 г. переехал в Талды-Курган Казахской ССР. Как осужденный по 58 статье работать учителем он не мог, зарабатывал игрой на скрипке в ресторане кооперативного союза.
Почти 12 лет А.М. Топоров не видел свою семью. Воссоединиться удалось в Житомире, где старший сын Юрий служил техником на телеграфе. С 1949 г. проживал в Николаеве. Только в декабре 1958 г., вместе с реабилитацией, с Топорова было снято клеймо «враг народа».
Одним из самых известных учеников Топорова был отец космонавта-2 Германа Титова – Степан Павлович Титов. В многочисленных статьях и публикациях С.П. Титов отмечал, что своей судьбой во многом обязан А.М. Топорову, называл его своим духовным наставником. С.П. Титов тоже стал педагогом, полюбил рисование, игру на скрипке, садоводство. А Германа Титова Адриан Митрофанович называл своим духовным внуком. Космонавт-2 встретился с легендарным педагогом, который незримо всегда присутствовал в его семье, в 1961 г. он писал: «…Всю мою сознательную жизнь я о Вас слышал, а вот свидеться довелось впервые. Примите низкий поклон».
Адриан Митрофанович Топоров умер 24 июля 1984 г. на Украине.