Расчет ж/б плиты перекрытия, опертой по контуру на наружные и внутренние стены

Иногда при строительстве небольшого дома в пару этажей возникает следующая ситуация:

Под наружные и внутренние стены залит ленточный фундамент и вот по этому фундаменту хочется сделать монолитную железобетонную плиту, так сказать, одним махом. Такая плита представляет собой пластину с шарнирным опиранием по контуру, если длина опирания плиты на наружные стены будет составлять около 10-15 см, а кроме того у такой плиты будут дополнительные промежуточные опоры - фундамент под внутренние стены. План ленточного фундамента выглядит следующим образом:

Рисунок 395.1. План ленточного фундамента.

Так как здание симметрично, то нет необходимости рассматривать всю плиту, достаточно определить параметры для любой из 4 ее составляющих. Например, часть плиты, перекрывающую верхний левый угол, можно рассматривать как пластину размерами 3.6х5.8 м, имеющую две шарнирных опоры - наружные стены и жестко защемленную на опорах - фундаменте под внутренние стены. Расположение арматуры для остальных частей плиты будет зеркальным.

Одна беда - рассчитать такую плиту не помогут даже "Рекомендации по расчету и конструированию сборных сплошных плит перекрытий жилых и общественных зданий", по той причине, что сборные сплошные железобетонные плиты проектируются как правило размером на комнату. Это значит, что жесткое защемление на одной или нескольких опорах "Рекомендациями..." не предусмотрено.

В таком случае проще всего для расчетов воспользоваться соответствующими таблицами, позволяющими малой кровью определить максимальные значения расчетных величин при условии, что на плиту действует равномерно распределенная плоская нагрузка.

Например, для нашей плиты подходит таблица для расчета пластин с 2 шарнирными опорами и 2 жесткими защемлениями, сходящимися в вершине. Коэффициент Пуассона для бетона как правило составляет µ = 0.16-0.18, а коэффициенты в таблице приводятся для расчета пластин из материалов с µ = 0.3. Так как уменьшение коэффициента Пуассона приводит к увеличению значений коэффициентов, то для обеспечения спокойного сна по ночам примем для дальнейших расчетов дополнительный коэффициент надежности k_н = 1.1.

Соотношение длины и ширины пластины составляет l/b = 5.8/3.6 = 1.61. Данное значение является промежуточным и потому значения коэффициентов будем определять интерполяцией.

k₂ = 0.0209 + (0.0245 - 0.0209)(1.66 - 1.61)/(1.66 -1.43) = 0.0217

k₃ = 0.0517 - 0.05(0.0517 - 0.0454)/0.23 = 0.0503

k₄ = -0.0776 + 0.05(0.0776 - 0.0766)/0.23 = -0.0774

k₅ = -0.1091 + 0.05(0.1091 - 0.0996)/0.23 = -0.107

Единственная неизвестная величина, которая у нас остается - это нагрузка на плиту q. Если принять предварительно высоту плиты h = 12 см, то нагрузка на плиту от собственного веса составит

q_п = k_нhγ = 1.1·0.12·2500 = 330 кг/м²

где γ - объемный вес железобетона, при проценте армирования < 2% принимаемый 2500 кг/м³.

Какова при этом будет временная нагрузка на плиту - отдельный вопрос, достаточно подробно рассматриваемый в других статьях. В данном случае мы ограничимся тем, что примем значение временной нагрузки qв = 400 кг/м². Тогда расчетное значение нагрузки составит

q = q_п + q_в = 330 +400 = 730 кг/м²

Примечание: если временная нагрузка на плиту будет больше и это заранее известно, то и принимать следует большее значение временной нагрузки.

Таким образом изгибающий момент, действующий в середине пролета (в точке О) вдоль длины l, составит:

М_х = γk₂qb² = 1.1·0.0217·730·3.6² = 225.83 кгс·м или 22583 кгс·см

Изгибающий момент, действующий в середине пролета (в точке О) вдоль ширины b, составит:

М_z = γk₃qb² = 1.1·0.0503·730·3.6² = 523.47 кгс·м или 52347 кгс·см

Максимальный изгибающий момент, действующий на жесткой опоре - фундаменте внутренней стены вдоль длины l (в точке Н₁), составит:

М_хоп = γk₄qb² = -1.1·0.0774·730·3.6² = -805.49 кгс·м или -80549 кгс·см

Максимальный изгибающий момент, действующий на жесткой опоре - фундаменте внутренней стены вдоль ширины b (в точке К), составит:

М_zоп = γk₅qb² = -1.1·0.107·730·3.6² = -1113.54 кгс·м или -111354 кгс·см

Максимальные моменты в пролетах вдоль осей х и z будут не посредине пролетов - не в точке О, а ближе к шарнирным опорам. Например, для балки с шарнирным закреплением на одной опоре и жестким защемлением на другой при действии равномерно распределенной нагрузки момент на жесткой опоре составляет Моп = - ql²/8 = -0.125ql², а максимальный момент в пролете М = 9ql²/128 = 0.0703ql². При этом момент посредине пролета составляет М_0.5l = (l/2)3ql/8 - (q/2)(l/2)² = ql²/16 = 0.0625ql². Из этого следует, что максимальный момент в пролете для такой балки будет на 100%(0.0703 - 0.0625)/0.0625 = 12.48% больше момента посредине пролета, следовательно для подбора арматуры в пролете расчетные моменты следует увеличить как минимум в 1.13 раза.

А еще приведенные значения моментов для балки с жестким защемлением на одной опоре и шарнирным опиранием на другой полезны тем, что позволяют оценить, не ошиблись ли мы при определении коэффициентов. Так как у нас пластина, а не балка, то значение момента на опоре для пластины будет меньше чем для балки, насколько меньше, зависит от соотношения сторон. Чем ближе соотношение l/b к бесконечности, тем ближе будут значения момента на опоре для пластины и для балки. Похоже, что мы при определении коэффициентов не ошиблись. Теперь осталось подобрать сечение арматуры.

Для плиты будем использовать бетон класса В20, имеющий расчетное сопротивление сжатию R_b = 11.5 МПа или 117 кгс/см² и арматуру класса AIII, с расчетным сопротивлением растяжению R_s = 355 МПа или 3600 кгс/см².

Теперь попробуем учесть плоское напряженное состояние бетона. В пролете на бетон будет действовать следующий момент:

М_б = ((1.13М_х)² + (1.13M_z)²)^0.5 = ((1.13·22583)² + (1.13·52347)²)^0.5 = 64422 кгс·cм

Это на 100%(64422 - 1.13·52347)/(1.13·52347) = 100%(64422 - 59152)/59152 = 8.9% больше полученного нами максимального значения момента в пролете. Поэтому для большего спокойствия умножим полученные значения моментов в пролете еще на один коэффициент 1.1. Тогда

М^р_x = 1.13·1.1М_х = 1.13·1.1·22583 = 28071 кгс·см

М^р_z = 1.13·1.1М_z = 1.13·1.1·52347 = 65067 кгс·см

Теперь подобрать сечение арматуры для полос плиты шириной b_пол = 1 м как в продольном, так и в поперечном направлении можно по любой из предлагаемых методик (по старой методике, по новому СНиПу, другим способом), результат будет приблизительно одинаковым. Но при использовании любой из методик необходимо помнить о том, что высота расположения арматуры будет разная. В данном случае для короткой арматуры, располагаемой параллельно оси z, можно предварительно принять h_0к = 10 см, а для арматуры, располагаемой параллельно оси x, можно предварительно принять h_0д = 8 см, так как диаметра арматуры мы пока не знаем.

По старой методике:

А_0к = M^р_z/b_полh²_0кR_b = 65067/(100·10²·117) = 0.0556

А_0д = M^р_х/b_полh²_0дR_b = 28071/(100·8²·117) = 0.0375

Теперь по вспомогательной таблице 1(170):

Таблица 1(170). Данные для расчета изгибаемых элементов прямоугольного сечения, армированных одиночной арматурой

мы можем найти η_к = 0.971 и ξ_к = 0.059. η_д = 0.981 и ξ_д = 0.038. И тогда требуемая площадь сечения арматуры:

F_aк = M^р_z/ηh_0кR_s = 65067/(0.971·10·3600) = 1.432 см².

F_aд = M^p_x/ηh_0дR_s = 28071/(0.981·8·3600) = 0.993 см².

При сетке с ячейкой 200х200 мм в полосе шириной 1 м будет 5 стержней и тогда по таблице 2 (см. ниже) для армирования плиты в пролете достаточно арматуры диаметром 6 мм по короткой стороне (сечение 5 стержней составит 1.42 см, что у учетом принятых нами коэффициентов можно считать достаточным). Коэффициент армирования по короткой стороне составит

μ =100% Fa/bh₀ = 100·1.42/(100·10) = 0.142%

Это значительно меньше рекомендуемого для плит коэффициента армирования, а потому мы можем уменьшить высоту сечения плиты например до 10 см (при этом h_oк = 8 см), что приведет к уменьшению нагрузки на плиту от собственного веса. При этом общее снижение нагрузки составит

730 - 400 - 1.1·0.1·2500 = 55 кг/м2 или 100%55/730 = 7.53%

Это означает, что расчетные моменты можно уменьшить в 1.07 раза. Тогда,

А_0к = M/bh²_0кR_b = 65067/(1.07·100·8²·117) = 0.0812, η_к = 0.958

F_aк = M/ηh_0кR_s = 65067/(1.07·0.958·8·3600) = 2.204 см².

и в этом случае для армирования по короткой стороне (вдоль оси z) мы можем принять 5 стержней диаметром 8 мм. Для унификации примем сечение длинной арматуры также 8 мм.

Таблица 2. Площади поперечных сечений и масса арматурных стержней.

Теперь нам осталось подобрать сечение арматуры в верхней зоне плиты на жестких опорах

А_0коп = M_zоп/b_полh²_0кR_b = 113354/(1.07·100·8²·117) = 0.1415

А_0доп = M_хоп/b_полh²_0дR_b = 80549/(1.07·100·7²·117) = 0.1313

Тогда η_к = 0.924 и ξ_к = 0.152. η_д = 0.929 и ξ_д = 0.141. И тогда требуемая площадь сечения арматуры:

F_aк = M_zоп/ηh_0кR_s = 113354/(1.07·0.924·8·3600) = 3.98 см².

F_aд = M_xоп/ηh_0дR_s = 80549/(1.07·0.929·7·3600) = 3.21 см².

Так как 5 стержней диаметром 10 мм для армирования вдоль оси z не достаточно, а стержни диметром 12 мм при шаге 200 мм обеспечивают достаточно большой запас прочности, то лучше принять шаг 10 миллиметровой арматуры 180 мм. Ну а для арматуры вдоль оси х достаточно использовать ту же арматуру диаметром 10 мм с шагом 200 мм.

Единственное, что нам осталось это определить длину данных стержней. Так как стержни будут укладываться сразу на 2 плиты, то длину стержней, укладываемых вдоль оси z, следует принимать не менее 0.6b + b_ф = 0.6·360 +70 = 286 см или 300 см для ровного счета. Длину стержней, укладываемых вдоль оси х, следует принимать не менее 0.6l + b_оп = 0.6·580 + 70 = 418 см или 420 см для ровного счета.