Задачи с целочисленными неизвестными.




 

Рассмотрим задачи, аналогичные реальным заданиям ЕГЭ (19 задание), при решении которых нужно использовать целочисленность значений переменных.

 

Пример 1. Известно, что все члены арифметической прогрессии являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а) Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?

б) Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от , если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Решение:

а) По условию является арифметической прогрессией с разностью , так как все ее члены различные. Тогда , т.е. . Все члены этой прогрессии могут быть заданы формулой . Откуда . Предположим, что отношение каких-то двух членов этой прогрессии равно 567, тогда . Получили уравнение в целых числах . Это уравнение не имеет решения, так как правая часть делится на 7, а левая часть на 7 не делится, значит один член этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз не может.

б) Рассмотрим отношение двух членов этой прогрессии, отличных от . Воспользуемся предыдущими выводами: , где и пусть, для определенности, . Тогда , откуда . Нас просят найти наименьшее возможное . Заметим, что правая часть делится на 7, левая часть делится на 7 при наименьшем возможном . Подставим и решим уравнение в целых числах , тогда или . Решением этого уравнения является пара представленная в виде . Тогда наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии равно 8, такое отношение будет, например, при между вторым () и десятым () членами арифметической прогрессии.

в) Если первый член прогрессии равен 546, то третий найдем по формуле: .

Пусть теперь . Тогда , . Заметим, что на 7 не делится. Далее можно рассмотреть остальные натуральные множители числа 546 и перебрать варианты произведения любых двух множителей или всех трех. при . Тогда .

Нас просят найти третий член последовательности .

Тогда, если один из членов прогрессии равен 546, то третий член прогрессии может быть либо 8190, либо 105.

Ответ: а) нет; б) 8, в) 8190 или 105

 

Пример 2. Семь экспертов оценивают фильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой схеме оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасывается наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

 

Решение: Пусть - наименьшая из оценок, - наибольшая из оценок, - сумма всех остальных пяти оценок. Тогда по старой системе рейтинг равен , а по новой системе рейтинг равен . Разность рейтингов тогда .

 

а) Положим, что разность рейтингов , откуда . В левой части уравнения стоит целое число, а в правой не целое, такое быть не может.

б) Положим, что разность рейтингов , откуда .

Возьмем в качестве наименьшей оценки , получим диафантово уравнение или . Решим это уравнение методом спуска. , , , , , спуск закончен, теперь подъем . Решением уравнения будет пара , заданная в виде .

Заметим, что сумма пяти различных оценок не меньше 20=(2+3+4+5+6), т.е. , так как . При решение уравнения . Подберем пять оценок от 2 до 8, чтобы в сумме было 24, например, 2+3+4+7+8. Тогда, например, для набора оценок 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов можен равняться .

в) Разность рейтингов максимальна, когда числитель наибольший из возможных, а для этого вычитаемое должно быть наименьшим из возможных. А это возможно, если оценки, входящие в сумму оценок , между собой отличаются на 1 и на 1 отличаются от наименьшей оценки , т.е.

 

Разность рейтингов максимальна при .

По условию эксперты выставляют оценки от 1 до 15, тогда наименьшая из возможных оценок , - наибольшая из возможных оценок. Подставим их в последнее равенство, получим наибольшую разность рейтингов равную .

Осталось привести пример с искомым набором оценок, например, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 15.

 

Ответ: а) нет; б) может; в)

 

Пример 3: (ЕГЭ 19 задача)

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.

 

а) может ли в последовательности быть три члена?

 

б) может ли в последовательности быть четыре члена?

 

в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?

 

Решение:

а) Пусть является арифметической прогрессией, тогда .

Пусть является геометрической прогрессией, тогда , а 2076 не является квадратом натурального числа.

Ответ: не может быть три члена в последовательности.

 

б) Пусть все четыре члена последовательности образуют арифметическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид , т.е. , но 2076-1 не делится на 3.

Пусть все четыре члена последовательности образуют геометрическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид , т.е. , но 2076 не является кубом натурального числа.

Пусть первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три члена – арифметическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид , но уравнение не имеет натуральных корней.

Пусть первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три члена – геометрическую, тогда это числа , но последнее число не может равняться 2076, так как не натуральное число при натуральных .

Ответ: не может быть четыре члена в последовательности.

 

в) Ответ: Да, например, 1, 2, 4, 6, 8,..., 2076

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-02-10 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: