Рассмотрим задачи, аналогичные реальным заданиям ЕГЭ (19 задание), при решении которых нужно использовать целочисленность значений переменных.
Пример 1. Известно, что все члены арифметической прогрессии 
являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.
а) Может ли один из членов этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз?
б) Найдите наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии, отличных от 
, если известно, что отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.
в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.
Решение:
а) По условию является арифметической прогрессией с разностью 
, так как все ее члены различные. Тогда 
, т.е. 
. Все члены этой прогрессии могут быть заданы формулой 
. Откуда 
. Предположим, что отношение каких-то двух членов этой прогрессии равно 567, тогда 
. Получили уравнение в целых числах 
. Это уравнение 
не имеет решения, так как правая часть делится на 7, а левая часть на 7 не делится, значит один член этой прогрессии быть больше другого ее члена в 567 раз не может.
б) Рассмотрим отношение двух членов этой прогрессии, отличных от . Воспользуемся предыдущими выводами: 
, где 
и пусть, для определенности, 
. Тогда 
, откуда 
. Нас просят найти наименьшее возможное 
. Заметим, что правая часть делится на 7, левая часть делится на 7 при наименьшем возможном 
. Подставим и решим уравнение в целых числах 
, тогда 
или 
. Решением этого уравнения является пара 
представленная в виде 
. Тогда наименьшее возможное отношение двух членов этой прогрессии равно 8, такое отношение будет, например, при 
между вторым (
) и десятым (
) членами арифметической прогрессии.
в) Если первый член прогрессии равен 546, то третий найдем по формуле: 
.
Пусть теперь 
. Тогда 
, 
. Заметим, что 
на 7 не делится. Далее можно рассмотреть остальные натуральные множители числа 546 и перебрать варианты произведения любых двух множителей или всех трех. 
при 
. Тогда 
.
Нас просят найти третий член последовательности 
.
Тогда, если один из членов прогрессии равен 546, то третий член прогрессии может быть либо 8190, либо 105.
Ответ: а) нет; б) 8, 
в) 8190 или 105
Пример 2. Семь экспертов оценивают фильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг фильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой схеме оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасывается наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 
?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться 
?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
Решение: Пусть - наименьшая из оценок, 
- наибольшая из оценок, 
- сумма всех остальных пяти оценок. Тогда по старой системе рейтинг равен 
, а по новой системе рейтинг равен 
. Разность рейтингов тогда 
.
а) Положим, что разность рейтингов 
, откуда 
. В левой части уравнения стоит целое число, а в правой не целое, такое быть не может.
б) Положим, что разность рейтингов 
, откуда 
.
Возьмем в качестве наименьшей оценки 
, получим диафантово уравнение 
или 
. Решим это уравнение методом спуска. 
, 
, 
, 
, 
, спуск закончен, теперь подъем 
. Решением уравнения будет пара 
, заданная в виде 
.
Заметим, что сумма пяти различных оценок не меньше 20=(2+3+4+5+6), т.е. 
, так как 
. При 
решение уравнения 
. Подберем пять оценок от 2 до 8, чтобы в сумме было 24, например, 2+3+4+7+8. Тогда, например, для набора оценок 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов можен равняться .
в) Разность рейтингов 
максимальна, когда числитель наибольший из возможных, а для этого вычитаемое 
должно быть наименьшим из возможных. А это возможно, если оценки, входящие в сумму оценок , между собой отличаются на 1 и на 1 отличаются от наименьшей оценки , т.е. 
Разность рейтингов максимальна при 
.
По условию эксперты выставляют оценки от 1 до 15, тогда наименьшая из возможных оценок , 
- наибольшая из возможных оценок. Подставим их в последнее равенство, получим наибольшую разность рейтингов равную 
.
Осталось привести пример с искомым набором оценок, например, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 15.
Ответ: а) нет; б) может; в) 
Пример 3: (ЕГЭ 19 задача)
В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) может ли в последовательности быть три члена?
б) может ли в последовательности быть четыре члена?
в) может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
Решение:
а) Пусть 
является арифметической прогрессией, тогда 
.
Пусть является геометрической прогрессией, тогда 
, а 2076 не является квадратом натурального числа.
Ответ: не может быть три члена в последовательности.
б) Пусть все четыре члена последовательности образуют арифметическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид 
, т.е. 
, но 2076-1 не делится на 3.
Пусть все четыре члена последовательности образуют геометрическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид 
, т.е. 
, но 2076 не является кубом натурального числа.
Пусть первые три члена образуют геометрическую прогрессию, а последние три члена – арифметическую прогрессию, тогда последовательность имеет вид 
, но уравнение 
не имеет натуральных корней.
Пусть первые три члена образуют арифметическую прогрессию, а последние три члена – геометрическую, тогда это числа 
, но последнее число не может равняться 2076, так как 
не натуральное число при натуральных 
.
Ответ: не может быть четыре члена в последовательности.
в) Ответ: Да, например, 1, 2, 4, 6, 8,..., 2076