Требование, чтобы передаточная функция
не имела полюсов в правой полуплоскости р = s + iw, т.е. в области, ограниченной полуплоскостью бесконечно большого радиуса R и осью iw (см. рисунок), равносильно условию, что знаменатель выражения (2) не должен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция
(*)
не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р.
Но Н(р) представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, то есть отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 при разомкнутой системе, как это показано на рисунке 2.
Для дальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплексную плоскость Н(р)=u+i (см. рисунок 3).
При этом каждой точке р плоскости s,iw соответствует определенное значение Н на плоскости u,iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутый контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, то соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н(p) .
Показанный на рисунке 1 контур можно разбить на два участка: прямую iw от ¥ до -¥ и полуокружность бесконечно большого радиуса R. На первом участке, где s=0, р=iw, функция H(p) обращается в функцию H(iw). В соответствии с выражением (*) этот участок преобра-зуется на плоскости H в линию, определяемую следующим cоотношением 
откуда
|
В этих выражениях аргументы переда-
точных функций соответственно четырехполюсников
|
.
На втором рисунке контура (см. рисунок 1) при R®¥ функция H(p)®0. Это вытекает из общего выражения
|
|
которое при ½p½ ® ¥ можно представить в виде (под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pпi - соответственно нули и полюсы функции К(р)).
Совершенно аналогично и функцию Н(р) при ½p½ ® ¥ можно представить в форме H(p) = Apn-m где n и m - числа соответственно нулей и полюсов функции Н(р).
При n < m и ½p½ ® ¥ модуль функции H(p) на полуокружности R ® ¥ равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение Н(р) на оси iw, то есть знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky(iw),Koc(iw).
Обходу контура на рисунке 1 в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от ¥ до -¥, т.е. также против часовой стрелки (см. рисунок 3).
Следовательно, если годограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0, то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.
Это условие называют критерием устойчивости Найквиста, а годограф H(iw) - диаграммой Найквиста.
Показанная на рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку 1,i0. Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам 0<w<¥, а штриховой - часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция u(w) четная, а v(w) нечетная относительно w, то оба годографа симметричны относительно действительной оси.
Рисунок 3 был построен для случая, когда при w = 0 передаточная функция Н(iw) отлична от нуля (эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).
|
Пример диаграммы Найквиста для неустойчивой системы приведена на рисунке 4.
Рисунок 4
Основное преимущество данного метода: удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи.
Следует отметить, что при сложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолько усложнена, что по ней сложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контур годографа. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений годографом оси U н(w) на участке 1,¥.
Для устойчивости системы тогда необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (так, как показано на рисунке 4), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз
* * *
Справедливости ради необходимо заметить, что известны и другие геометрические методы исследования устойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова и критерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматического регулирования. Но мы не будем рассматривать их в данной работе, а при необходимости, с ними можно познакомиться в книге: Котельников В.А., Николаев А.М. “Основы радиоэлектроники”
Литература
1. С.И. Баскаков “Радиотехнические цепи и cигналы”, 1983. М.: Высшая школа.
2. И.С. Гоноровский “Радиотехнические цепи и сигналы”, 1986 М.: Радио и связь.