План урока
Теоретического занятия №56
по ОП.02 Техническая механика
Количество часов: 1 час
Дата: 17.02.2022г.
Преподаватель Бондарев С.Д.
Специальность: 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений
Группа: 9 СЭЗС-21 (ускоренное обучение)
Тема раздела: Сопротивление материалов.
Тема урока: Модуль сдвига, крутящий момент.
Тип урока: Урок – лекция.
Цель урока: изучение модуля сдвига, крутящего момента.
Конспект лекции
Деформацией твердого тела называется изменение его размеров и объема, сопровождающееся чаще всего изменением формы тела. Деформации вызываются изменением температуры или внешними силовыми воздействиями. При деформациях происходят смещения частиц, находящихся в узлах кристаллических решеток твердых тел, из первоначальных положений равновесия в новые. Силы взаимодействия между частицами препятствуют этому смещению, вследствие чего в деформированном теле возникают внутренние упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, приложенные к телу.
В случае твердых тел различают деформации упругие и пластические. Является ли деформация упругой или пластической зависит не только от материала тела, но и от величины приложенной силы, а точнее от приложенного напряжения.
Напряжением называется сила, отнесенная к единице
площади s
= F.
S
Рис.1
Деформация, исчезающая после прекращения действия вызывающей её силы, называется упругой. При этом происходят смещения частиц из новых положений равновесия в кристаллической решетке в прежние. Все возможные виды деформаций могут быть сведены к растяжению, сжатию и сдвигу. Представим, что к основанию однородного стержня
(рис.1) приложена растягивающая сила F. Стержень будет деформирован. Пусть 0 -длина недеформированного стержня. После приложения силы его длина получает приращение D и
= + D |
Отношение
.
e = D
называют относительным
удлинением. На рис.1 также показана экспериментальная
зависимость относительной деформации
e = D
растяжения
s = F. Этот график называют диаграммой растяжения.
S
При небольших значениях напряжение и деформация
примерно пропорциональны (участок ОП)
D
s = Е
(1)
Эта зависимость носит название закона Гука. Постоянный коэффициент пропорциональности E называется модулем Юнга и является одной из существенных характеристик данного материала.
Модуль Юнга – это напряжение, которое вызывает
относительную деформацию
e = 1, то есть D =
.Если это
Далее деформация растет быстрее (до точки У), а от точки У до точки Т кривая на некотором участке примерно параллельна оси деформации – напряжение почти не увеличивается, а деформации растут. Область деформаций, соответствующая участку кривой от точки Т, называется областью пластических деформаций.
Пластической деформацией называется неупругая деформация твердого тела, которая сохраняется и после прекращения действия внешних приложенных сил. Далее, с увеличением напряженияs кривая достигает максимума в точке Р и затем, спадая, обрывается. Конец кривой соответствует разрыву тела.
Сдвиг
Сдвигом называется деформация, при которой все плоские слои твердого тела, параллельные некоторой плоскости (плоскости
сдвига), не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис.2). Сдвиг происходит под действием
F |
к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань AD закреплена неподвижно. Мерой
Рис.2
деформации является угол сдвига
j (относительный сдвиг). Для
малых углов сдвига j
абсолютный сдвиг; x = AB.
= tg j =
D x, где
x
D x = C C ¢-
Величина деформации, определяемая углом j,
закономерно связана с величиной касательных напряжений. Опыт показывает, что связь между относительным сдвигом j и
касательным напряжением st
для данного материала примерно
такая же, как и зависимость между eи sдля того же материала. По закону Гука относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению
s t = G j
, (2)
где G - модуль сдвига, численно равный касательному напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный единице, то есть на угол, тангенс которого равен 1. Это угол 45 градусов. Модуль сдвига наравне с модулем Юнга характеризует упругие свойства вещества.
Кручение
Деформации растяжения и сдвига являются деформациями
однородными, то есть все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Если верхний конец круглого стержня закрепить, а к другому приложить закручивающие силы, создающие вращающий
З |
Рис.3
продольной оси стержня, то возникнут деформации
кручения: стержень закрутится – каждый радиус незакрепленного основания повернется вокруг продольной
оси на угол j (рис.3). Образующая цилиндра (АВ) станет винтовой линией (АВ1).
Закон Гука для деформации кручения запишется в виде
з |
, (3)
где D – модуль кручения – постоянная для данного стержня величина, зависит не только от материала, но и от геометрических размеров стержня.
Деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Теоретическими расчетами получена связь модулей кручения и сдвига для сплошного стержня радиусом R
p R 4 G
Крутильные колебания
Если к свободному концу стержня прикрепить тело и заставить его под действием сил упругости стержня колебаться, то уравнение, описывающее крутильные колебания, получается из уравнения основного закона динамики вращательного движения
d 2 j
I
dt 2
= - M
d 2 j
З |
dt 2
=- D j, (5)
где I – момент инерции маятника.
Моментом инерции материальной точки называется величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от оси вращения
i i |
Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих это тело
i |
r 2 d m
(7)
Обозначим
w 2 =
D, тогда уравнение, описывающее крутильные
I
колебания, примет вид
d 2 j
dt 2
+ w 2 j = 0
Решением этого уравнения является уравнение гармонических колебаний
соs w
t, где w = 2 p 1
Т
, тогда
2 p 2 p
T = =
или период крутильных колебаний равен
w D
I
I D |
Выразив из (8) D и приравняв его с (4), получим выражение для модуля сдвига
8p I
G = (9)
T 2 R 4
Рис.4 x
Описание экспериментальной установки
Установка для определения модуля сдвига
3 методом крутильных колебаний
состоит из кронштейна, в зажиме которого закреплена исследуемая поволока 1. К нижнему концу проволоки прикреплен горизонтальный металлический
стержень 2 с двумя симметрично расположенными подвижными
грузами 3 одинаковых массы и формы (рис. 4). Различным расположением этих грузов достигается изменение момента инерции маятника относительно оси вращения.
Момент инерции данной системы будет складываться из момента инерции стержня и моментов инерции двух грузиков на стержне относительно оси вращения
I = m
2 2
+ 2 m х |
(10)
где х – расстояние грузика до оси вращения.
Необходимость вычисления момента инерции стержня можно избежать, если вычислить периоды колебаний, например, для двух положений грузиков на стержне:
I + I |
ст 1 D |
I + I |
ст 2 D |
, (11)
и х 2 от
оси вращения. Возведя правые и левые части равенств (11) в квадрат и вычтя из первого равенства второе, получим выражение для мо кручения
4 p 2 (I - I)
D = 1 2
T 2 - T 2
(12)
1 2
Приравняем (12) и (4)
4 p 2 (I - I)
p R 4 G
T 2 - T 2
. Отсюда следует
1 2
(I 1 - I 2) |
G =
1 2 |
(13)
Так как момент инерции грузиков можно вычислить как момент инерции материальной точки
I = 2 т х 2, I = 2 m x 2,
1 1 2 2
тогда окончательное выражение для вычисления модуля сдвига примет вид
( |
х - |
х |
) |
G =
1 2 |
(14)
Из выражения (11) видно, что квадрат периода линейно зависит от квадрата расстояния грузика до оси вращения. Если построить
график зависимости
Т 2 =
f (x 2)инайтитангенсугланаклона
прямой к оси абсцисс,тогда (14) примет вид
16 p т
G =
tg a × R 4
(15)
Домашняя работа:
Ответить на вопросы, прислать в ЛС к следующему уроку.
1. Что называется деформацией?
2. Дайте определение деформациям растяжения, сдвига и кру- чения.
3. Запишите закон Гука для деформаций растяжения, сдвига и кручения.
4. Какова связь модуля кручения и модуля сдвига.
5. Как экспериментально определить модуль сдвига?