Теоретическая часть
Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Широко использовалась в программировании и компьютерной документации, однако позднее была почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
Восьмеричная система применяется при выставлении прав доступа к файлам и прав исполнения для участников в Linux-системах.
Шестнадцатеричная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. В качестве цифр этой системы счисления обычно используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно.
Целые десятичные числа переводят из одной системы счисления в другую методом деления. Поясним сначала схему этого метода простейшими примерами.
Пример 1. Перевод в восьмеричную систему счисления
51810=10068.
Пример 2. Перевод в шестнадцатеричную систему счисления
47310=1D916.
Общее правило. Исходное число делится на основание новой системы счисления с определением частного и остатка. Частное вновь делится на основание новой системы счисления и т. д. до тех пор пока возможно деление нацело. Все остатки от деления и самое последнее самое правое частное — есть цифры составляющие код числа в новой системе счисления. Многозначные остатки и частное заменяются соответствующими цифрами в новой системе счисления. Старшим разрядом кода числа в новой системе счисления является самое последнее частное. Далее следуют остатки в порядке обратном порядку их получения.
Десятичные дроби переводят в другую систему счисления методом умножения. Поясним схему этого метода примером перевода в восьмеричную систему.
0.51810=0.4111…8
Следует иметь в виду, что конечная десятичная дробь в другой системе счисления может оказаться бесконечной дробью.
Общее правило. Исходное число множится на основание новой системы счисления. Целая часть полученного результата есть первая после точки цифра кода в новой системе счисления. Дробная часть полученного результата вновь множится на основание новой системы счисления. Целая часть результата — вторая цифра кода в новой системе счисления и т. д. Процесс останавливается, если очередная дробная часть оказывается нулем либо достигнута требуемая точность представления числа.
Рассмотренный алгоритм перевода справедлив при любых основаниях исходной и новой системы счисления. Они в принципе могут быть использованы для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. Однако, на практике оказывается более удобным выполнять такой перевод, используя соотношение, связывающее код числа в позиционной системе счисления с величиной этого числа.
Пример.
31.218=3∙81+1∙80+2∙8-1+1∙8-210;
FA.3E16=15∙161+10∙160+3∙16-1+14∙16-210.
Перевод из десятичной системы и обратно обычно выполняют в два этапа, используя в качестве промежуточного результата компактную запись двоичного кода в шестнадцатеричной или в восьмеричной системе.
Пример.
111 110 1002=7648=7∙82+6∙81+4∙80=7∙64+48+4=448+48+4=50010
Практическая часть (вариант 1)
1) Выполнить перевод чисел 305, 105, 482, 700 из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную. Одно из чисел перевести двумя способами.
2) Выполнить в восьмеричном коде сложение чисел 305+105, 482+700.
3) Выполнить в шестнадцатеричном коде сложение чисел 482+700.
4) Используя таблицу умножения восьмеричных чисел, выполнить умножение 568*148.
5) Выполнить перевод восьмеричных чисел 13, 72, 40 в десятичные.
6) Выполнить перевод шестнадцатеричных чисел B4, CF9 в десятичные.
Десятичные дроби переводят в другую систему счисления методом умножения. Поясним схему этого метода примером перевода в восьмеричную систему.
0.51810=0.4111…8
Следует иметь в виду, что конечная десятичная дробь в другой системе счисления может оказаться бесконечной дробью.
Общее правило. Исходное число множится на основание новой системы счисления. Целая часть полученного результата есть первая после точки цифра кода в новой системе счисления. Дробная часть полученного результата вновь множится на основание новой системы счисления. Целая часть результата — вторая цифра кода в новой системе счисления и т. д. Процесс останавливается, если очередная дробная часть оказывается нулем либо достигнута требуемая точность представления числа.
Рассмотренный алгоритм перевода справедлив при любых основаниях исходной и новой системы счисления. Они в принципе могут быть использованы для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. Однако, на практике оказывается более удобным выполнять такой перевод, используя соотношение, связывающее код числа в позиционной системе счисления с величиной этого числа.
Пример.
31.218=3∙81+1∙80+2∙8-1+1∙8-210;
FA.3E16=15∙161+10∙160+3∙16-1+14∙16-210.
Перевод из десятичной системы и обратно обычно выполняют в два этапа, используя в качестве промежуточного результата компактную запись двоичного кода в шестнадцатеричной или в восьмеричной системе.
Пример.
111 110 1002=7648=7∙82+6∙81+4∙80=7∙64+48+4=448+48+4=50010
Практическая часть (вариант 2)
1) Выполнить перевод чисел 503, 125, 248, 300 из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную. Одно из чисел перевести двумя способами.
2) Выполнить в восьмеричном коде сложение чисел 503+125, 248+300.
3) Выполнить в шестнадцатеричном коде сложение чисел 248+300.
4) Используя таблицу умножения восьмеричных чисел, выполнить умножение 328*248.
5) Выполнить перевод восьмеричных чисел 31, 27, 42 в десятичные.
6) Выполнить перевод шестнадцатеричных чисел 64, B6 в десятичные.
Десятичные дроби переводят в другую систему счисления методом умножения. Поясним схему этого метода примером перевода в восьмеричную систему.
0.51810=0.4111…8
Следует иметь в виду, что конечная десятичная дробь в другой системе счисления может оказаться бесконечной дробью.
Общее правило. Исходное число множится на основание новой системы счисления. Целая часть полученного результата есть первая после точки цифра кода в новой системе счисления. Дробная часть полученного результата вновь множится на основание новой системы счисления. Целая часть результата — вторая цифра кода в новой системе счисления и т. д. Процесс останавливается, если очередная дробная часть оказывается нулем либо достигнута требуемая точность представления числа.
Рассмотренный алгоритм перевода справедлив при любых основаниях исходной и новой системы счисления. Они в принципе могут быть использованы для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. Однако, на практике оказывается более удобным выполнять такой перевод, используя соотношение, связывающее код числа в позиционной системе счисления с величиной этого числа.
Пример.
31.218=3∙81+1∙80+2∙8-1+1∙8-210;
FA.3E16=15∙161+10∙160+3∙16-1+14∙16-210.
Перевод из десятичной системы и обратно обычно выполняют в два этапа, используя в качестве промежуточного результата компактную запись двоичного кода в шестнадцатеричной или в восьмеричной системе.
Пример.
111 110 1002=7648=7∙82+6∙81+4∙80=7∙64+48+4=448+48+4=50010
Практическая часть (вариант 3)
1) Выполнить перевод чисел 211, 98, 370, 500 из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную. Одно из чисел перевести двумя способами.
2) Выполнить в восьмеричном коде сложение чисел 211+98, 370+500.
3) Выполнить в шестнадцатеричном коде сложение чисел 211+98.
4) Используя таблицу умножения восьмеричных чисел, выполнить умножение 268*548.
5) Выполнить перевод восьмеричных чисел 31, 42, 60 в десятичные.
6) Выполнить перевод шестнадцатеричных чисел F4, 64 в десятичные.
Десятичные дроби переводят в другую систему счисления методом умножения. Поясним схему этого метода примером перевода в восьмеричную систему.
0.51810=0.4111…8
Следует иметь в виду, что конечная десятичная дробь в другой системе счисления может оказаться бесконечной дробью.
Общее правило. Исходное число множится на основание новой системы счисления. Целая часть полученного результата есть первая после точки цифра кода в новой системе счисления. Дробная часть полученного результата вновь множится на основание новой системы счисления. Целая часть результата — вторая цифра кода в новой системе счисления и т. д. Процесс останавливается, если очередная дробная часть оказывается нулем либо достигнута требуемая точность представления числа.
Рассмотренный алгоритм перевода справедлив при любых основаниях исходной и новой системы счисления. Они в принципе могут быть использованы для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную. Однако, на практике оказывается более удобным выполнять такой перевод, используя соотношение, связывающее код числа в позиционной системе счисления с величиной этого числа.
Пример.
31.218=3∙81+1∙80+2∙8-1+1∙8-210;
FA.3E16=15∙161+10∙160+3∙16-1+14∙16-210.
Перевод из десятичной системы и обратно обычно выполняют в два этапа, используя в качестве промежуточного результата компактную запись двоичного кода в шестнадцатеричной или в восьмеричной системе.
Пример.
111 110 1002=7648=7∙82+6∙81+4∙80=7∙64+48+4=448+48+4=50010
Практическая часть (вариант 4)
1) Выполнить перевод чисел 234, 326, 82, 305 из десятичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную. Одно из чисел перевести двумя способами.
2) Выполнить в восьмеричном коде сложение чисел 305+234, 82+305.
3) Выполнить в шестнадцатеричном коде сложение чисел 305+234.
4) Используя таблицу умножения восьмеричных чисел, выполнить умножение 358*158.
5) Выполнить перевод восьмеричных чисел 66, 12, 701 в десятичные.
6) Выполнить перевод шестнадцатеричных чисел D24, F9 в десятичные