Математическое моделирование в горном деле: задачи, функции

Слово «модель» в переводе с латинского означает меру, об­разец. В современной литературе под словом «модель» имеется в виду либо некий образ интересующего нас объекта, либо прооб­раз некоего объекта, системы. Модель является представлением объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель — это система, на­ходящаяся в объективном соответствии с исследуемым объектом, отражающая наиболее существенные его свойства и дающая в процессе изучения информацию о самом объекте. Сам же процесс построения и изучения модели называется моделированием. Модели описывают закономерности, присущие изучаемому объекту, с помощью математических выражений (систем уравнений, неравенств) и поэтому называются математическими.

Анализ известной информации показывает, что необходимо уточнение определения математических моделей, в том числе и имитационных, применительно к современному уровню развития средств вычислительной техники и требованиям оптимизацион­ных задач. Математической моделью исследуемого объекта назовем некоторую систему математических выражений (систем уравнений, неравенств), описывающую характерные зависимости и закономерности, присущие изучаемому объекту, находящуюся в объективном соответствии с исследуемым объектом, отражающую наиболее существенные его свойства и дающую в процессе изучения самого объекта необходимую и достаточную для решения поставленной задачи информацию.

Таким образом, математическая модель — это сформулированная математическая задача, решение которой позволяет определить свойства и существенные характеристики некоторого реального объекта. Параметры моделируемого объекта находятся решением сформулированной математической задачи.

Под строгой математической задачей понимаем сформулированную и формализованную задачу в виде совокупности уравнений, неравенств, граничных условий и ограничений, описыва­ющих все существенные параметры, зависимости и закономер­ности, влияющие на решение таким образом, что она содержит в себе всю необходимую и достаточную информацию, обеспечи­вающую однозначность ее решения. Под однозначностью реше­ния понимаем его независимость от выбранного метода реше­ния. Решение может быть не обязательно единственным, а мно­жество решений конечным. Формализованная таким образом задача не содержит ненужной (лишней) информации и не требу­ет дополнительных условий и ограничений для получения решения. Из этого определения вытекает, что строгая математическая задача подразумевает существование решения.

Строгое решение математической задачи — решение, полученное в результате преобразований, удовлетворяющих всем фундаментальным требованиям этой науки. Причем преобразования выполняются без всяких дополнительных условий и ограничений.

Имитационная математическая модель — это такая математическая модель, у которой одна часть параметров, описывающих исследуемый объект, выражается в виде некоторой количественной и логической зависимости от остальных параметров, описывающих объект.

Задавая по определенным законам значения одним параметром, можно получить не только значение остальных параметров, но и установить законы, по которым они изменяются в зависимости от задаваемых параметров. Таким образом, происходит имитация некоторого процесса, описанного моделью.

В отличие от аналитической модели, где параметры моделируемого объекта определяются в качестве строгого решения задачи, анализ имитационной модели, т. е. полное определение всех параметров, описывающих объект, находят методом подбора. Одним из неоспоримых преимуществ имитационных математических моделей является возможность их использования для исследования стохастических процессов. Многие важные практически стохастические задачи могут быть решены только путем применения имитационных математических моделей.

Второе важное направление использования имитационных моделей — это построение приближенных решений аналитических задач.

С помощью методов имитационного моделирования решается ряд оптимизационных задач, как на стадии разработки предприятия, так и для различных этапов его функционирования. Следует не описание производственных процессов подстра­ивать под существующие математические методы, а, наоборот, математические методы подстраивать под анализ производственных процессов.

Большинство научных работ в той или иной мере являются оптимизационными.

Оптимизировать принятые решения или параметры исследуемого объекта проще и доступнее всего с использованием средств вычислительной техники и математических моделей исследуемого объекта. Однако в этом случае модель должна быть универсальной.

В зависимости от назначения модели делят на оптимизационные и ин­формационные. Если оптимизационные модели занимают приоритетное место, то информационные модели предназначены для получения информации, используемой при получении решения.

К информационным моделям относят модели имитации технологических процессов, корреляционные модели технико-экономических показателей, прогнозные модели, а также матема­тические модели месторождений. По виду объекта различают модели технологических процессов, комплексов работ, предпри­ятий, объединений и отраслей.

В зависимости от используемого метода получения решения различают корреляционные модели, модели линейного (нелинейного) программирования, сетевые модели, модели массового обслуживания, игровые модели и др. Модели вообще, и имитаци­онные модели в частности, можно дополнительно классифици­ровать различными способами.

В основу классификации могут быть положены некоторые типовые, групповые характеристики моделей. Модели могут быть разделены на:

- детерминированные;

- стохастические;

- дискретные;

- непрерывные;

- натуральные;

- аналоговые;

- символические.

Из многообразных функций моделей выделены следующие:

- средства осмысливания действительности;

- средства обучения;

- инструмент прогнозирования;

- средства постановки экспериментов.

Модели представлены в виде непрерывного спектра, простирающегося от точных моделей, или макетов реальных объектов, до совершенно абстрактных математических моделей. Модели в начале спектра называют натурными.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Почему произвольное решение во всех случаях глубоко отрицательно, а любое обоснование решения, даже в условиях риска или неопределенности, ведет к положительному эффекту.

Для большей достоверности принимаемого решения следует попытаться его обосновать различными методами. Например, одну и ту же задачу несколько независимых экспертов решают различными методами, а конечный результат представляет собой среднее из рассмотренных вариантов решения

Чем сложнее планируемые мероприятия, тем менее допустимы «волевые решения» и тем важнее научные методы, позволяющие прогнозировать последствия реализации каждого решения

Модель принятия решений имеет несколько различных элементов: перечень целей, перечень параметров альтернатив, вероятности (если они есть) исходов принимаемых решений, критерий решений (показатель эффективности), определяющий путь нахождения лучшей альтернативы. Обычно этим способом решаются обратные задачи исследования операций.

Существуют и другие методы принятия решений. В большинстве случаев решения принимаются бессознательно, в силу инстинктов, рефлексов, т.е. автоматически. Это относится, прежде всего, к прямым задачам, когда ситуация предельно ясна (поломка оборудования, разрушение коммуникаций, оползни, природные катаклизмы и др.). Основы правильности решений, ограниченных сжатыми сроками, в этом случае составляют квалификация и осведомленность работников, личные качества руководителя, принимающего решение и организующего контроль результатов действия. Интуиция (предчувствие, ощущение, догадка) зависит от опыта принимающего решение в данной области. На втором месте по частоте применения стоит метод проб и ошибок. Его успех зависит от скорости обучения, памяти, опыта, от способности фиксирован, событие. Этот метод принятия решения требует больших затрат времени и малоэффективен.

Следующий метод принятия решения связан к обращению к авторитету (опыт опытный специалист, книги, учебник). Однако обращение к авторитету не всегда обосновано и может означать уклонение от ответственности. Обращение к авторитету обосновано на стадии, когда готовится решение.

По числу критериев задачи принятия решений делятся на однокритериальные и многокритериальные. Однокритериальные детерминированные задачи являются более простыми с точки зрения определенности их решения. В этих задачах — цель операции, ее оценка и исход — связаны детерминированной зависимостью со стратегией оперирующей стороны. Поэтому принцип оптимальности здесь очевиден — оптимальное решение соответствует максимуму (минимуму) критерия оптимизации.

При решении однокритериальных задач принятия решений в условиях риска или неопределенности, а также многокритериальных задач возникают проблемы выбора, иерархии (относительной важности) и др., только после решения которых приступают к решению проблем формально математического характера. Сложности возникают, прежде всего, оттого, что неясен сам принцип оптимальности. Главным является вопрос: какое решение следует считать оптимальным в условиях риска, неопределенности и многокритериальности задач?

Применительно к однокритериальным задачам в условиях риска и неопределенности главная проблема заключается в детерминизации случайных и неопределенных величин. Посредством замены случайных величин параметрами их распределений (математическое ожидание, дисперсия) задачу сводят к детерминированной. Сложнее вопрос выбора оптимальности применительно к многокритериальным задачам (принцип «скаляризации»). В результате решения этой проблемы многокритериальная задача, соответствующая некотором сложной, многоцелевой операции, сводится к однокритериальной.