Пусть 
Запишем таблицу производных для сложной функции.
1) 
8) 
2) 
9) 
3) 
10) 
4) 
11) 
5) 
12) 
6) 
13) 
7) 
Найти производные сложных функций.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Задание 2. Вычислить производные функций.
1) 
2) 
3) 
4) 
- Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба. Асимптоты.
При построении графика функции 
надо найти:
1) область определения
2) четность, нечетность
3) интервалы возрастания и убывания, экстремумы
4) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба
5) асимптоты
Экстремумы функции находятся по следующей схеме:
1) Находим производную, приравниваем к нулю, решаем это уравнение. Корни уравнения называются критическими точками. Корни знаменателя производной тоже называются критическими точками.
2) Критические точки отмечаем на прямой и на каждом интервале ставим знак
производной
3) Если 
, на этом интервале функция возрастает, если 
, на этом интервале функция убывает.
4) Если при переходе через критическую точку 
производная меняет свой знак с «плюс» на «минус», то в точке - максимум. Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «минус» на «плюс», то в точке - минимум.
Пример. Найти экстремумы функции 
Отмечаем точки на оси и ставим знаки производной.
В точке 
- максимум, в точке 
- минимум. Подставляя и в функцию, найдем 
.
Пример. Построить график функции 
Найдем точки пересечения графика с осью 
.
Экстремумы найдены в предыдущем примере.
. 
Пример. Построить график функции 
|
|
Найдем экстремумы.
Отмечаем точки на прямой и на полученных интервалах ставим знаки производной.
Строим график функции.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Задание 1. Построить график заданной функции, определить характер точек разрыва, вычислить в этих точках пределы справа и слева.
Вариант 1. 
Вариант 2. 
Вариант 3. 
Вариант 4. 
Вариант 5. 
Вариант 6. 
Вариант 7. Вариант 8. 
Вариант 9. 
Вариант 10. 
Задание 2. Вычислить производные функций.
Вариант 1. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 2. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 3. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 4. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 5. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 6. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 7. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 8. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 9. 1) 
2) 
3) 
4) 
Вариант 10. 1) 
2) 
3) 
4) 
Задание 3. Найти экстремумы функции, указать интервалы убывания и возрастания, построить график
Вариант 1. 1) 
2) 
Вариант 2. 1) 
2) 
Вариант 3. 1) 
2) 
Вариант 4. 1) 
2) 
Вариант 5. 1) 
2) 
Вариант 6. 1) 
2) 
Вариант 7. 1) 
2) 
Вариант 8. 1) 
2) 
Вариант 9. 1) 
2) 
Вариант 10. 1) 
2) 
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция 
называется первообразной функции 
, если 
. Например, для 
первообразной будет функция 
, так как 
. Для функции 
первообразной будет функция 
, так как 
. Заметим, что если первообразная функции , то 
, где С – любое число, тоже первообразная функции , так как 
.
Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
.
Например, 
, так как 
Запишем таблицу неопределенных интегралов.
1) 
8) 
2) 
9) 
3) 
10) 
4) 
11) 
5) 
12) 
6) 
13) 
7) 
При нахождении неопределенного интеграла используют правила:
|
|
1. 
, то есть постоянный множитель выносится
за знак интеграла
2. 
, то есть интеграл от суммы равен
сумме интегралов.
Пример. 
По определению 
Например, 
Пример. 
Пример. 
Дифференциалом функции 
называется 
Например:
1) 
2) 
3) 
Пример. 
Пример. 
Пример. 
Пример. 
Выражение 
называется полным квадратом.
Пример. 
При нахождении интегралов иногда используют формулу 
Например:
Пример. 
Задание 1.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.
Задание 1. Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов. В задании e)
надо выделить в знаменателе полный квадрат, в задании f) в числителе выделяется
производная знаменателя.
Вариант 1. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 2. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 3. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 4. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 5. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 6. а) 
в) 
с) 
d) 
e) 
f) 
Вариант 7. а) в)
с) d) 
e) 
f) 
Вариант 8. а) в)
с) d) 
e) 
f) 
Вариант 9. а) в)
с) d) 
e) 
f) 
Вариант 10. а) в)
с) 
d) 
e) 
f) 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Здесь 
и 
называются пределами интегрирования, 
- первообразная 
, то есть неопределенный интеграл. Для вычисления определенного интеграла надо найти первообразную, найти ее значения на верхнем пределе, на нижнем пределе и вычесть.
Пример.
1) 
2) 
С помощью определенного интеграла находятся площади фигур, длины кривых, объемы тел и т.д.
|
|
Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 
Строим параболу 
, прямую , - ось 
, 
- ось .
В более общем случае площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
находится по формуле:
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 
Строим параболу 
. Находим точки пересечения параболы с осью .
Прямую 
строим по двум точкам: 
Находим точки пересечения параболы и прямой:
Находим площадь фигуры:
Задание 1. Найти определенный интеграл.
1) 
2)
3)
4)