Вектор –это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом  или  . Вектор  называется противоположным вектору и может быть обозначен  .
Сформулируем ряд базовых определений.
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается  .
Вектор нулевой длины (его суть - точка) называется нулевым  и направления не имеет. Вектор  единичной длины, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают  . Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Векторы называются равными  , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат 0 xyz. Выделим на осях координат 0 x, 0 y, 0 z единичные векторы (орты) и обозначим их через  соответственно. Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат. Спроектируем вектор на координатные оси и обозначим проекции через ax, ay, az соответственно. Тогда нетрудно показать, что
 . (2.25)
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ax, ay, az называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в виде
 . Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки. С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно найти выражение для вычисления модуля вектора:
 , (2.26)
то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение:  Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы  своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если
 .
Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.
Геометрически два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;
б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.
2. Вычитание двух векторов производится покоординатно, аналогично сложению, то есть если  , то
 .
Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
Важным следствием вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат:  . Координаты векторов  и  совпадают с координатами точек А и В, так как начало координат О (0;0;0). Таким образом, по правилу вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.
3. Умножение вектора на число λ покоординатно:  .
При λ> 0 – вектор  сонаправлен ; λ< 0 – вектор противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ|< 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l),вектор  задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A’ и B’.
Проекцией  вектора на осьl называется длина вектора  , взятая со знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со знаком «–», если и l противоположно направлены.
Если в качестве оси l взять некоторый другой вектор  , то получим проекцию вектора на вектор .
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть  ;
2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.
5. Скалярным произведением  векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть
 . (2.27)
Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол  , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения 
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть 
Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов  , заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть
 (2.28)
С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить угол между ними. Если заданы два ненулевых вектора своими координатами , то косинус угла φ между ними:
 (2.29)
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :
 (2.30)
Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле
 (2.31)
С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы  на прямолинейном участке пути.
Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения  (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении  равна  .
Следовательно, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример 2.9.С помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах 
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):
Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус искомого угла
Пример 2.10.Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).
Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?
Таблица 2.2
Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат ресурсов на тонну продукции Тогда
Таким образом, общая цена затрат на производство одной тонны творога составляет 279 541,5 рублей Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ(), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала
Угол φ между
6. Три некомпланарных вектора Векторным произведением – – имеет длину, равную – векторы
Теорема 2.5. Векторное произведение векторов
Примечание. Определитель(2.25) раскладывается по свойству 7 определителей Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю Геометрическая интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего вектора численно равна площади S параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах, приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль векторного произведения векторов равен
Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейнуюскорость вращения. Пусть в точке A приложена сила - перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B; - его модуль численно равен произведению силы на плечо - Следовательно, момент силы
Линейная скорость точка оси (рис. 2.17).
Пример 2.12. С помощью векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).
7. Рассмотрим произведение трех векторов Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения Теорема 2.7. Если три вектора
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки Решение. Найдем координаты векторов
По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах
Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения. Система векторов
Отсюда всегда можно один из линейно зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно, допустим для определенности, что
получим выражение вектора Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все Базисом n – мерного пространства En называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства. Произвольный вектор
Числа Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n,если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы. Например, в трехмерном пространстве существует базис единичных орт |
и вектор цены единицы соответствующего ресурса 
.
. Общая цена ресурсов 
, что представляет собой скалярное произведение векторов 
. Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:
, если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A (2;4;6) в положение A (4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила 
. По формуле (2.28) 
(единиц работы).
, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора 
кратчайший поворот от первого вектора 
вектора 
, где φ – угол, образованный векторами 
Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения 
, заданных своими координатами, равно определителю третьего порядка вида
(2.32)
. С другой стороны, площадь параллелограмма, построенного на векторах 
. Следовательно,
. (2.33)
и пусть O – некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом силы 
, который проходит через точку O и удовлетворяет следующим условиям:
.
. (2.34)
точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 
вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера 
, O – некоторая неподвижная
, приведенных к одному началу.
. Согласно формуле (2.33) модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к общему началу, то есть 
. Тогда площадь треугольника 
. Следовательно, искомая площадь равна 
(единиц площади)
. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а результирующий вектор – скалярно на третий. Такое произведение 
называется смешанным произведением трех векторов (векторно–скалярным произведением).
заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть
(2.35)
.
(2.36)
. Вычислить объем пирамиды.
. Вычислим смешанное произведение этих векторов: 
равен 
(единиц объема) 
называется линейно зависимой, если существуют такие числа 
, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство
(2.37)
. Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем:
через остальные векторы 
В системе векторов 
n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:
называются координатами вектора 
Коэффициенты {x1, x2, x3} такого разложения вектора по ортам