Исследование поведения графиков функций

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Понятия производной и дифференциала. Дифференцируемость функции

Пусть имеется функция f (x). Возьмем точку и зададим приращение , т.е. Функция f (x) также получит приращение

Определение. Производной функции f (x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю, т.е. (при условии, что он существует).

Обозначают производную штрихом f' (х) (читается «эф штрих от икс») или набором символов (читается «дэ эф от икс по дэ икс»).

По определению приращений и в точке их отношение представляет собой тангенс угла наклона секущей к оси абсцисс, пересекающей график функции в точках и При секущая будет переходить в касательную в точке .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс, проведенной к графику функции f (x) в точке (см. рис.1).

Рисунок 1

Рассмотрим теперь физический смысл производной. Пусть имеется производная где х - координата материальной точки, a t - время. Отношение есть средняя скорость за промежуток времени . Производная представляет собой мгновенную скорость материальной точки в момент времени t.

Аналогично, есть скорость изменения скорости, или ускорение.

Определение. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке представимо в виде где А - некоторое число, не зависящее от , а - функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при т.е.

Теорема. Для того чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Теорема. Если функция f (х) дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение не верно. Например, непрерывна в точке но не имеет производной в ней.

Запишем приращение дифференцируемой функции Пусть тогда - бесконечно малое одного порядка с , а - бесконечно малое более высокого порядка, чем .

Определение. Дифференциалом функции f (х) в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции или

Назовем дифференциалом независимой переменной х величину Получим или

Геометрический смысл дифференциала см. на рис.1 .

Вычисление производных

Теорема. Если функции u (х) и v (x) дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное (в последнем случае ) этих функций также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие соотношения:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Теорема (производная сложной функции). Если функция имеет производную в точке , a функция y=f (х) имеет производную в соответствующей точке то функция имеет производную в точке и имеет место следующая формула: