х- конкретные значения признака; х- средняя арифметическая ; п- число наблюдений.

Лекция 4.

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

На каждый исторический факт, на каждое событие дей­ствует множество различных причин и сил, способствующих и препятствующих его появлению. Пытаясь классифицировать из­учаемое явление, мы сталкиваемся с необходимостью выявления общих характеристик, относящихся как к любому элементу рассматриваемой совокупности, так и ко всей совокупности в це­лом. Такими общими характеристиками, раскрывающими опре­деленные свойства и направление развития процесса, выступают средние величины.

Категория средней величины имеет одну из самых древних историй. Процесс становления абстрактных понятий связан с отбором общих черт некоего предмета или явления. При этом стираются, отбрасываются свойства, присущие исключительно отдельным объектам изучаемого явления. Так, обратившись к ис­тории языка, можно заметить долговременное применение лекси­ческих единиц, выражающих понятие "снег" через его характери­стики, через его проявления - "падающий с неба", "холодный", "мягкий", " мокрый", "чистый", "тающий" и т.д. В данном случае "снег" является обобщением, абстрактным понятием, вбирающем в себя все типичные признаки конкретного природного явления.

Практическое применение средние нашли в деле налогооб­ложения в странах древнего мира. Оно основывалось на процеду­ре усреднения доходов разных социальных категорий граждан.

Теоретическое осмысление средних можно найти в трудах античных философов. Оно отражено в понятии гармонии, в про­цессе поисков общих закономерностей. В произведениях Аристо­теля, Гераклита, Архимеда, Пифагора и других содержится по­нимание средней как равнодействующей всех определенных условий, которые участвуют в образовании рассматриваемой со­вокупности индивидуальных величин.

В истории науки один из первых, кто попытался придать средней величине статистический смысл был английский ученый В.Петти (1623 - 1687 гг.). Он раньше других ввел средние ста­тистические показатели в разработку экономической теории. Спустя более 100 лет началось последовательное развитие тео­рии самих средних. Ее родоначальником принято считать А.Кетле (1796 - 1874 гг.). Он, опираясь на философию француз­ского позитивиста О.Конта, разрабатывал теорию всеобщих зако­номерностей, которые выступают в форме устойчивых во времени статистических результатов. Они лишены индивидуальности, это массовые закономерности. Однако А.Кетле прославился более не как философ-метафизик, а как социолог-математик. В его тру­дах теория средних величин опирается на математическую основу. Вплоть до настоящего времени категория "средняя ве­личина" является важнейшим логическим узлом научного аппа­рата, и дискуссии по ее концептуальной ценности продолжаются.

Главное значение средних состоит в их обобщающей функ­ции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значе­ний признака средней величиной, характеризующей всю сово­купность явлений. Средняя отражает совокупный результат развития и является равнодействующей различных причин и сил, воздействующих на эти явления.

В исторической науке средние величины присутствуют давно, но не в полной мере. Для обработки массовых данных в статистике разработаны средние гармоническая, геометрическая, квадратическая, а также описательные средние - мода и медиана. Историки же традиционно обращаются, главным образом, к сред­ней арифметической.

Использование средних предполагает следование опреде­ленным правилам.

1. До вычисления средних необходимо обеспечить качествен­ную однородность совокупности.

Так, например, нельзя изучать среднюю землеобеспеченность по общим данным о наделах крестьян, мещан, дворян, купечества. Нарушение указанного принципа не позволит нам получить типи- 'ческую характеристику признака в изучаемой совокупности.

2. Средние вычисляются по массовым данным, т.е. по дан­ным достаточно большого числа единиц наблюдения.

Если обратиться к тому же примеру о средней землеобеспе- ченности, то согласно второму правилу нельзя изучать сред­нюю землеобеспеченность дворян по данным о размерах двух­трех имений. Мы обеспечили качественную однородность на­блюдаемой совокупности, выделив группу дворян. Но для получе­ния исторически реальной картины необходимо расширить число фактов. Это помогает снизить влияние недостоверной или нети­пичной информации.

Средние рекомендуется вычислять по сведениям массовых источников, где действует закон больших чисел. Чем значитель­нее количество наблюдаемых фактов, тем бывает легче отделить случайное от необходимого.

В жизни чаще всего то общее и существенное, что свой­ственно всем явлениям одного вида скрыто их индивидуальными особенностями. Следовательно, невозможно вскрыть общее, рассматривая отдельные, малочисленные случаи. Чем больше единиц наблюдения, тем значительнее отвлекается средняя вели­чина от специфических черт индивидуальных явлений.

3. Нельзя ограничиваться вычислением средней в целом по совокупности, не меньшее значение имеют средние характеристи­ки и для каждого отдельного типа.

Используя тот же пример, можно предложить рассчитать средние величины землевладения дворян для разных губерний, для дворянства разных сословных групп (потомственного, лично­го, служилого), для дворянства разного экономического положе­ния (безпоместного, малопоместного и др.) и так далее, в зависи­мости от цели и задач конкретного исследования.

На практике статистика использует средние величины, обоб­щающие явно неоднородные явления. Это особенно важно помнить при работе с уже сгруппированными данными и средними величина­ми, исчисленными до вас. В этом случае нужна проверка типич­ности средней величины по базовому группировочному признаку.

Средняя не сводится только к количественному выражению "индивидуальных уклонений". Одна из главных задач научного исследования - выявление закономерностей. Метод средних, иг­норируя каждый отдельный случай, устанавливает их общее распределение в конкретных условиях места и времени. Средняя является специфической формой выражения содержания общего закона, который выступает в виде тенденции.

Средняя арифметическая (V), - является самым распро­страненным видом средних величин. Если в исследовании автор не указывает вид примененного среднего показателя, подразуме­вается средняя арифметическая. Она исчисляется путем отноше­ния суммы всех значений признака к общему числу наблюдений.

 

^где

Х_ь Х₂, Х₃... Х_п, - варианты признака;

п - число единиц наблюдения.

Пример 4.1:

Даны сведения о заработной плате шести работников (в условных единицах) - 90, 120, 108, 206, 160, 184. Определить сред­ний размер заработной платы данной совокупности работников.

Смысл (в данном примере) сводится к показу, какой была бы заработная плата каждого работника, если бы они полу-

чали ее поровну. Согласно вычислению их средняя заработная плата равняется 144,67 условных единиц.

Если значения изучаемого признака в совокупности не повто- ■ ряются (см. Пример 4.1), то любое значение этого признака оказывает на величину X одинаковое влияние, т.е. имеет одинаковый "вес".

Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще всего представлена группировкой, где значения усредняе­мого признака встречаются по нескольку раз и частота их раз­лична. Это значит, что любая варианта этого признака оказывает неодинаковое влияние на среднюю величину, которая должна представлять собой результат равномерного распределения зна­чений признака. Для уравновешивания указанных влияний ис­пользуют средневзвешенную величину, равную сумме произ­ведений каждого значения признака на его частоту, деленной на сумму всех частот.

X - варианты признака;

Р - частота вариант (в статистической литературе для обо­значения частоты используют букву "Г, в последние годы это обозначение проникает и в историческую литературу).

Пример 4.2:

Распределение футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых мячей за игру в 1992 г.

возраст	до 20	20-30	30-40	40-50	страше 50
число рабочих

Определить среднее число забитых голов за одну игру.

Согласно вычислению в среднем за одну игру футбольных

матчей высшей лиги в 1992 году забивалось 2.34 мяча. Обращает на себя внимание тот факт, что величина средней арифмети­ческой может принимать дробные значения даже для дискрет­ных признаков. Об этом важно помнить при интерпретации ре­зультатов вычислений.

Если в группировке значения осредняемого признака зада­ны интервальным рядом, то при исчислении средней арифмети­ческой в качестве значения признака берутся середины интерва­лов. Условно предполагается, что единицы совокупности распре­делены равномерно по интервалу.

Для открытых интервалов значения признака определяются экспертным путем, качественным анализом, исходя из сущ­ности и свойств природы признака. Исследователь не всегда имеет возможность провести подобную экспертизу. В этом случае можно использовать формальный способ прибавления единицы к максимальному определенному значению и вычитания единицы из минимального заданного значения признака.

Пример 4.3:

Распределение рабочих N-ского предприятия по возрасту.

Определить средний возраст представленной группы рабочих Мы можем предположить, что минимальный возраст рабо­чих - 17 лет (возраст получения общего среднего образования), а максимальный - 65 лет (по экспертной оценке - наиболее типич­ный возраст прекращения трудовой деятельности). Тогда пер­вый интервал становится "17 - 20", а последний - "50 - 65", соот­ветственно середины интервалов - 18,5 и 57,5 (лет).

Расчет проводится по формуле взвешенной средней ариф­метической, т.к. частоты вариант признака различны.

Предположения наши достаточно условны. Произведем подсчет средней величины, применив формальный способ реше­ния проблемы открытых интервалов. Вместо "до 20" берем 20-1, т.е. 19,-а вместо "старше 50" - 50+1, т.е. 51. Формула приобретает следующий вид:

Как видно из примера разница в показателях X несуще­ственна, что иллюстрирует допустимость использования фор­мальных методов.

В практике исторического исследования встречаются си­туации, когда индивидуальные значения осредняемого признака неизвестны. В распоряжении исследователя имеются некие сум­марные значения объемных признаков. Средняя величина опре­деляется отношением между имеющимися итоговыми данными.

Пример 4.4:

Известно, что с площади 145 десятин собран урожай в 2595,5 т какой-то продукции. Отношение 2595,5/145 показывает среднюю урожайность данной культуры с одной десятины. В данном примере она равна 17,9 тонн. Этот вид средней называется В статистике неявной формой средней.

Встречаются случаи, когда в распоряжении исследователя име­ются относительные показатели признака (доли, проценты, удельный вес и пр.). Общее определение средней арифметической сохраняет силу и в этом случае, но надо иметь в виду, что сумма таких пока­зателей не является реальной величиной какого-либо признака.

Основное свойство средней арифметической состоит в представлении всех значений признака в распределении. Следо­вательно, ее величина подвержена влиянию как очень больших, так и очень малых вариант. В результате она перестает быть ти­пичной. Особенно это чувствуется при асимметричном распреде­лении. Так, в примере 4.3 при среднем возрасте рабочих 34 года 67,7% рабочих имеют возраст меньше или равный среднему зна­чению и 32,3% были старше. Здесь видна явная асимметрия, об­условленная характером вариации признака. Для общественных явлений это естественно, строгая симметрия практически не­возможна, а значит для их изучения мало знать среднюю ариф­метическую.

Мода. (Мо) представляет наиболее часто встречающееся значение признака в упорядоченной совокупности, наиболее ти­пичное среднее значение.

В дискретном ряду Мо определяется без вычислений как значение признака с наибольшей частотой. Так, в примере 4.2 мо­да равна 2, т.к. этому значению признак соответствует наи­большая частота (42). Таким образом, чаще всего в 1992 г. за одну игру футбольных матчей высшей лиги России забивалось 2 мяча.

Если в вариационном ряду (в группировке) равная максималь­ная частота встречается у двух или нескольких значений признака, то он считается соответственно бимодальным или мультимодаль­ным. Это говорит о неоднородности совокупности и, следовательно, надо проверить правильно ли составлена группировка.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала опреде­ляется модальный класс, т.е. интервал с наибольшей частотой. За­тем Мо вычисляется по формуле:

Х_с - нижняя граница модального интервала;

К - величина интервала;

Р, - частота интервала, предшествующего модальному; Р₂ - частота модального интервала;

Р₃ - частота интервала, последующего за модальным. Вычислим Мо по данным примера 4.3.

Получается, что наиболее типичный возраст рассматри­ваемой группы рабочих - 26,15 лет. Этот возраст наиболее часто встречается в данной группе рабочих.

Приближенное значение моды можно определить по графи­ку. Для этого надо построить гистограмму распределения. Внут­ри "столбика" с наибольшей высотой проводят прямые линии, со­единяющие его правый верхний угол с правым верхним утлом предшествующего "столбика", а левый верхний - с левым верх­ним утлом следующего "столбика". Абсцисса точки пересечения этих линий покажет моду. Проиллюстрируем сказанное графи­ком, построенным поданным примера 4.3 (см. Рис.4.1).

Рис.4.1. Гистограмма распределения рабочих N-ского предприятия по возрасту.

Графическое определение моды применяется во всех слу­чаях, когда в задачу исследования не входит обязательное по­лучение точного значения наиболее распространенной величины признака. Например, для проверки рабочей гипотезы, когда точная величина принципиальной роли не играет, или для по­вышения наглядности материала. По нескольким графикам можно провести приблизительное сравнение мод различных призна­ков, чего невозможно сделать по таблицам.

Медиана. (Me) - величина, определяющая значение признака, находящегося в середине упорядоченной совокупности. Медиана делит изучаемую совокупность так, что число единиц с большим и меньшим, чем медиана значением признака, одинаково.

Чтобы определить Me в дискретном ряду, надо построить ряд накопленных частот, затем поделить сумму всех частот по­полам, а затем по накопленным частотам определить величину варианты, соответствующей той группе, в которой накопленная частота впервые превышает половину общей численности сово­купности. В примере 4.2 ряд накопленных частот будет выглядеть так: 21; 62; 104; 141; 160; 170; 176; 179. Полусумма всех частот равна 179/2 = 89,5. Эта величина входит в третью из нако­пленных частот, т.е. в данном примере третья из накопленных частот своей величиной впервые превысила значение полу­суммы всех частот. Следовательно, медиана равна 2, т.е. варианте признака, соответствующей третьей группе. Получив Me, можно констатировать, что в половине футбольных матчей высшей лиги России в 1992 году забивалось в среднем по 2 мяча.

В интервальной группировке для вычисления Me необходи­мо найти медианный интервал - интервал, которому соответству­ет первая из накопленных частот, превышающая половину сум­мы всех частот ряда распределения. Затем считают по формуле:

 

Х_с - нижняя граница медианного интервала;

⁴ К - величина медианного интервала;

'jTP- сумма частот;

X *■!' сумма частот интервалов, предшествующих медианному (накопленная частота в интервале, предшествующем медианному).

Р_т - частота медианного интервала.

Определим Me по данным примера 4.3. Ряд накопленных частот принимает следующий вид: 48; 168; 243; 305; 359. Полу­сумма частот равна 359/2 = 179,5. Полученные данные говорят о том, что медианным является третий интервал, т.е. интервал "30 - 40". Подставляем имеющиеся показатели в формулу:

Величина Me свидетельствует, что половина рабочих рассматриваемой группы имеет средний возраст 31,53 года.

Примерное значение медианы можно определить с помощью графика. Для этого используют кумуляту, последнюю ординату которой делят пополам и через полученную точку проводят прямую, параллельную оси ОХ до пересечения ее с кумулятой. Перпендикуляр, восставленный из этой точки на ось абсцисс указывает значение медианы. Проиллюстрируем это положение графиком, построенным по данным примера 4.3. (см. Рис.4.2).

Значение и смысл графического определения медианы ана­логичны графическому определению моды.

Обобщая три средних величины, рассчитанные по одним и тем же данным, видим существующую разницу. Средний возраст условной группы рабочих (7) - 33,6 лет, наиболее распространен­ный, часто встречающийся средний возраст (Мо) - 26,2 лет, при этом половина рассматриваемой группы имеет средний возраст

(Me) - 31,5 лет. Какой величине следует отдать предпочтение? Какой показатель считать наиболее достоверным и точным?

Рис.4.2. Кумулята распределения рабочих N-ского предприятия по возрасту.

При решении этих вопросов надо помнить, что:

1. Мода (Мо) имеет значение в том случае, когда ее величина расходится и с медианой (Me), и со средней арифметической (X), им не следует пренебрегать. Это же можно сказать и о медиане. Так что для исследования полезно вычислять все три показателя.

2. Различие в значениях величин обусловлено асимметрич­ным распределением. Средняя арифметическая подвержена влия­нию каждой варианты, поэтому она смещается в направлении наибольших значений признака. На моду крайние (максимальные и минимальные) варианты влияния не оказывают. Медиана зави­сит только от числа вариант, а не от их величины.

3. Медиана по своей математико-статистической природе является самой представительной средней. При больших колеба­ниях в значениях признаков или когда не определены крайние интервалы в группировках, лучше пользоваться медианой. При вычислении моды для интервальной группировки желательно, чтобы интервалы были равновеликими.

4. Мода чаще других величин применяется по отношению к ка­чественным признакам. Если скопление частот возле моды состав­ляет 10-15% их общего числа, особое значение приобретает медиана, представляя более достоверное значение среднего показателя.

* * *

Когда в разных совокупностях величина средней арифмети­ческой примерно одинакова - это еще не говорит об одинаковости или схожести самих совокупностей. За совпадением средних может скрываться разный размах вариаций признаков. Колеблемость по­казателей, т.е. разброс между максимальными и минимальными значениями признаков проверяется методом группировки и с по­мощью дисперсии (от латинского dispersio - рассеяние).

Простейшим способом изучения вариации признака в сово­купности является размах вариации или ее амплитуда (R) Вели­чина R определяется как разность между максимальным и мини­мальным значениями признака в изучаемой совокупности.

R = x_max - x_min

Так, по данным примера 4.3 размах вариации признака "возраст" равен:

R = 65 - 17 = 48(лет).

Амплитуда вариации определяет лишь наибольшее разли­чие в значениях признака и обусловлена только двумя "край­ними” величинами. Она не учитывает особенности распределе­ния в целом, не учитывает все различия каждого значения приз­нака. На практике чаще всего прибегают к изучению среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) кон­кретных значений признака от его средней величины. Оно обо­значается о (сигма) или S и позволяет определить границы, в ко­торых изменяются конкретные значения признака. Величина, насколько в среднем каждое значение признака отличается от его средней арифметической, находится по формуле:

 

. ' ^где

х- конкретные значения признака; х- средняя арифметическая; п- число наблюдений.

Стандартное квадратическое отклонение, возведенное в квадрат, называется дисперсией.

В том случае, если мы имеем дело с группировкой, с ин­тервальным рядом, формула видоизменяется:

 

х- конкретные значения признака (для интервальной груп­пировки - срединные значения признака); х- средняя арифметическая; р- частота признака в группировке.

Рассмотрим вычисление среднего квадратического отклоне­ния для данных примера 4.3.

Полученное значение говорит о том, что в рассматриваемой со­вокупности рабочих N-ского предприятиях их возраст в среднем от­клонялся на 12,77 лет от средней величины, равной 34,56 лет.

Достаточно просто вычисляется среднее квадратическое отклонение для определения размаха вариации качественных (альтернативных) признаков. Формула выглядит так:

 

Р, - частота первой варианты признака;

Р₂ - частота второй варианты признака;

п - число наблюдений.

Пример 4.4:

Даны сведения об успеваемости группы студентов в количестве 24 человек. После очередной экзаменационной сессии 6 человек имеют задолженности по тем или иным учебным дисциплинам, а 18 человек сдали успешно все экзамены. Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно:

Дисперсии при интерпретации выражаются в тех же еди­ницах, что и сами признаки. Это приводит, к тому, что будучи выражены в разных единицах измерения, средние квадратиче­ские отклонения несравнимы. То есть, нельзя сравнивать количе­ство детей с земельной площадью. В случае необходимости поль­зуются коэффициентом вариации (V), определяемым как отно­шение стандартного отклонения к средней арифметической.

 

Полученную величину можно выразить в процентах. Сопо­ставление коэффициентов вариации нескольких признаков рас­ширяет возможности исследователя при анализе и интерпрета­ции распределений признаков - их равномерности, нормаль­ности, колеблемости.

Показатели вариации раскрывают уровень репрезентатив­ности (представительности) средней величины, степень ее точ­ности, адекватности исторической реальности. При большом раз­бросе в значениях признака, при значительных показателях ва­риации средняя величина не является достаточно достоверной Характеристикой изучаемой совокупности.

Какое место занимает дисперсия в исторических исследова­ниях? Во-первых, как мы уже отмечали выше, она является не­обходимым и обязательным дополнительным показателем при сравнении средних и сопоставлении различных группировок. Во- вторых, с ее помощью проверяется и обосновывается правомер­ность применения математических методов. Дисперсия служит своеобразным индикатором однородности изучаемой совокупности и нормальности ее распределения (см. лекцию 6). В-третьих, сравнение дисперсий различных признаков позволяет судить об их качественном значении в рассматриваемой системе. Дисперсии помогают не потерять сглаженное средними показателями своеоб­разие признаков изучаемого явления.

Средняя квадратпическая. Историки иной раз сталкивают­ся с проблемой определения средней земельной площади (пло­щадь посевов; территория археологических раскопов; регион, охваченный восстанием и т.п.), но при этом известны не площади осредняемых участков, а только их линейные параметры. Пу­тем качественного анализа проверяется возможность допущения, что каждый из рассматриваемых земельных участков имеет вид квадрата. Если проверка дала положительный результат, то для расчета средней площади имеющихся участков применяется формула средней квадратической:

Пример 4.5:

Предположим, что имеются три участка земли. Протяжен­ность одного -100 м, второго - 200 м, третьего - 300 м. Надо определить среднюю протяженность земельного участка. Величи­на средней арифметической = 200 м [(100+200+300)/3]. Ее реаль­ность можно проверить, подсчитав площадь земельных участков, предположив, что они квадратной формы. Реальная площадь - 100⁷+200²+ 3 00² = 140 ООО м², а площадь трех участков со стороной 200 м - 3(200)²=120 000 м². Получилось, что мы "потеряли" в виду усреднения 20 000 м\ Следовательно, средняя арифметическая нас не удовлетворяет.

Применим среднюю квадратическую:

 

Приняв 216 м за среднюю протяженность одного участка, пло­щадь всех трех - 139 968 м². Как видим, "потери", вызванные усред­нением значения признака, составили всего 32 м².

Средние показатели динамики. К средним показателям динамики относятся средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средний темп роста. Все они выступают характеристиками тенденции.

Средний уровень (у) интервального динамического ряда определяется как простая средняя арифметическая из уровней за равные промежутки времени или как средневзвешенная из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых выступает в качестве "весов".

Пример 4.6:

Добыча нефти в СССР в 1976 - 1980 гг.

Как показывают данные таблицы, промежутки времени в примере 4.6. равные: по одному году. Значит мы должны приме­нить здесь формулу простой средней арифметической для опре­деления среднегодового уровня добычи нефти за 5 лет.

Средний уровень годовой добычи нефти за период 1976 - 1980 х.г. составил:

Распределение занятости учебно-вспомогательного персо­нала в приемной комиссии.

 

В примере 4.7. временные промежутки разные - 14 дней, 7 дней, 6 дней, 4 дня. В данном случае надо использовать формулу средневзвешенной.

 

Т.о. среднесписочное число работников учебно-

вспомогательного персонала приемной комиссии в июле соста­вило 19,4 человека.

В моментном ряду средняя величина характеризует обоб­щенное значение признака между начальным и конечным момен­том наблюдения. Следовательно, начальный и конечный уровни лишь наполовину относятся к изучаемому отрезку времени, а на половину к прошлому и будущему периодам. Это обстоятельство определило формулу средней хронологической.

Пример 4.8:

На 1 января 1924 г. в Средне-Волжском районе было зарегестрировано 47 546 переселенцев-мужчин (это не значит, что все они прибыли сюда 1 января), на 1 января 1925 г.- 46 725 мужчин, на 1 января 1926 Г.-64368 мужчин. Определить среднего­довое количество прибывших в Средне-Волжский район мужчин в 1924-26 гг.

 

 

В среднем ежегодно в период 1924-1926 гг. в Средне-

Волжский район прибывали 51 341 мужчина.

В случае, если промежутки между датами моментного ряда не равны, хронологическая средняя вычисляется по формуле:

 

Т - промежутки между датами;

ft, Щь Уп - уровни ряда; п - количество уровней.

Часть математиков считают проблему вычисления среднего уровня моментного ряда при неравных временных промежутках спорной. Однако в исторических исследованиях использование этой формулы возможно при тщательном контроле исходных данных и результатов вычисления качественным анализом.

Один из наиболее важных средних показателей динамиче­ского ряда - средний темп изменения (роста или сокращения). Он определяется по формуле средней геометрической. В литера­туре до сих пор нет универсального символа для обозначения этого показателя. Так, у Т.И.Славко используется G, у И.Д.Ко- вальченко - К_р, у И..И.Елисеевой - I, у А.Я.Боярского - Т.

 

 

Вычислим среднюю геометрическую по данным предыдущего примера 4.8.

 

В среднем ежегодно в период 1924-1926 гг. число иммиг- рантов-мужчин в Среднем Поволжье увеличивалось в 1,16 раз.

С помощью средней геометрической величины мы получили среднюю скорость изменения признака. В нашем распоряжении есть еще один средний показатель - средний абсолютный при­роста (абсолютное значение). Он показывает на какую величину (в единицах измерения уровней ряда) показатель одного времен­ного периода больше или меньше любого предшествующего. При возрастании уровней абсолютное изменение принимает положи­тельное, а при уменьшении - отрицательное значения.

Он определяется по формуле:

 

У, - начальный уровень динамического ряда;

У_п - конечный уровень динамичческого ряда;

п - число временных промежутков (число осредняемых отрезков времени).

Определение "начального" и "конечного" уровней динамиче­ского ряда в каждом вычислении зависит от задач исследования. По одной группировке можно определить несколько средних зна­чений абсолютного прироста за разные временные промежутки.

Подсчитаем средний абсолютный прирост по данным при­мера 4.8.

У,=47546; У„= 64368. Чему равно п?

В нашем распоряжении сведения за 1924, 1925 и 1926 го­ды, а это значит, что мы имеем два осредняемых временных про­межутка - с 1924 по 1925 гг. и с 1925 по 1926 гг. Следовательно, п=2, а не 3, как могло показаться вначале.

Как видим, в 1924-1926 гг. в Среднее Поволжье ежегодно прибывали в среднем по 8411 мужчин. Интерпретация АУ и Г сопровождается обязательным указанием двух хронологических единиц - периода, который характеризуется (в нашем случае - 1924-1926 it.) и периода, на который рассчитан средний пока­затель (в нашем случае - выяснялся ежегодный показатель).

По среднему темпу роста можно без труда определить средний темп прироста, вычитая из значения Т единицу. В нашем примере Т = 1,16. Тогда средний темп прироста: 1,16-1 = 0,16. Полученное значение можно выразить в процентах, умножив его на 100% (у нас 0,16 100% = 16%).

Разделив абсолютный прирост на темп прироста (за соот­ветствующий период) получим среднее абсолютное значение при­роста (в):

Встречаются ситуации, когда темпы роста и прироста, а также абсолютные приросты по годам снижаются, в то же время абсолютные значения 1% прироста возрастают. Может быть и обратный процесс.

Приведенные показатели служат основными характеристиками, применяемыми для анализа динамических рядов. Они позволяют судить об абсолютном и относительном изменениях уровней ряда. В заключение необходимо сделать несколько замечаний.

1. Все перечисленные показатели обладают высокой точ­ностью и достоверностью при небольших колебаниях в значениях признака.

2. Средние хронологические особенно полезно вычислять при сравнительном анализе двух и более динамических рядов.

 

ПО ТЕОРИИ МЕТОДА ДОПОЛНИТЕЛЬНО ЧИТАЙТЕ:

1. Джини К. Средние величины. - М., 1970.

2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. - М., 1995. - С.66-103, 257-306.

3. Измайлова М.О., Рахманкулов И.Ш. Категория "средняя величина" и ее методологическое значение в научном исследо­вании. - Казань, 1982.

4. Славко Т.И. Математико-статистические методы в истори­ческих исследованиях. - М., 1981. - С.47-57.

5. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. - М., 1979.

6. Общая теория статистики. - М., 1984. - С.54-78, 94-104, 195-201.