Квадратные уравнения. Задания для самостоятельного выполнения

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax²+bx+c=0, где a,b,c — некоторые числа a≠0, x — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

a - старший коэффициент; b - средний коэффициент; c - свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты b и c не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение 2x²–8x+3=0. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, 5x²–2x=0.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Неполное квадратное уравнение имеет вид ax²+bx=0, если a≠0;c=0. В левой части этого уравнения есть общий множитель x.

1. Вынесем общий множитель x за скобки.

Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем x=0 или ax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

x=0;ax+b=0

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно. Мы получим x=0 и x= . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня x=0 и x=

Пример 7. Решить уравнение4х²−5х=0

Решение.

Вынесем х как общий множитель за скобки: х(4х−5)=0

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

x=0 или 4х−5=0, значит х₁=0 и х₂=1,25

Ответ: х₁=0 и х₂=1,25

2) Неполное квадратное уравнение вида ax²+c=0,a≠0,b=0

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x².

ax²+ c=0, ax²= −c, x²=

При решении последнего уравнения возможны два случая:

· если >0, то получаем два корня: x= ±

· если <0, то уравнение во множестве действительных чисел не имеет решений.

Пример 8. Решить уравнениеx²−16=0

Решение. x²−16=0, x²=16, x= ±4. Ответ: х₁=4,х₂=−4

 

Решение полного квадратного уравнения

1)

У

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение b²—4ac.

У

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D>0. Тогда корни уравнения равны: x_1,2=

2. D=0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: x₁= x₂=

3. D<0. В этом случае уравнение не имеет корней.

Пример 9. Решить уравнение 3х²−11= −8х

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

3х²+8х−11=0, a=3,b=8,c= −11

D=b²−4ac=82−4·3·(−11)=196

x₁= = =1 x₂= = = −3

Ответ: x₁=1,x₂= −3

2) Устные способы решения квадратных уравнений

Если сумма коэффициентов равна нулю (а+b+c= 0), то х₁=1, х₂=

Пример 10. Решить уравнение 4х²+3х−7=0

Решение. 4+3−7=0, следовательно х₁=1,х₂= . Ответ: х₁=1,х₂= .

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту (a+c=b), то

х₁= −1, х₂=

Пример 11. Решить уравнение 5х²+7х+2=0

Решение. 5+2=7, следовательно, х₁= −1,х₂= − . Ответ: х₁= −1,х₂= −

Важно! Приведенные квадратные уравнения можно решать как по общей формуле, так и по теореме Виета.

У

Задания для самостоятельного выполнения

1. Решите урав­не­ние . Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

2. Решите урав­не­ние . Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

3. Решите урав­не­ние . Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

4. Найдите корни урав­не­ния . Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

5. Найдите корни урав­не­ния . Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

6. Решите урав­не­ние (x + 2)² = (x − 4)².

7. Най­ди­те корни урав­не­ния Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

8. Най­ди­те корни урав­не­ния Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

9. Уравнение имеет корни −6; 4. Най­ди­те

10. Решите урав­не­ние

11. Решите урав­не­ние

12. Решите урав­не­ние

13. Решите урав­не­ние Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

14. Решите урав­не­ние 8 x ² − 12 x + 4 = 0. Если кор­ней несколько, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке возрастания.

18. Уравнение имеет корни −5; 7. Най­ди­те