ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
Цель работы: 1) Знакомство с системой обозначения граней и направлений;
2) Определение индексов граней и ребер кристаллов;
3) Решение некоторых типичных кристаллографических задач с использованием условия зональности.
Важнейшее значение в кристаллографии имеет вопрос об аналитической записи взаимного расположения граней и ребер кристалла в пространстве. С этой целью применяют кристаллографические символы, определяющие положение любой грани и ребра кристалла относительно принятых координатных осей.
Символы граней
Положение грани кристалла можно описать с помощью трех отрезков, отсекаемых этой гранью на координатных осях. Кристаллографическую систему характеризуют геометрические константы кристалл: осевые углы (a, b, g) и осевые единицы (a0, b0, c0). Осевыми единицами называют отрезки a0, b0, c0, отсекаемые единичной гранью на координатных осях x,y,z соответственно. В соответствии с симметрией кристалла масштаб измерения отрезков, отсекаемых гранью на осях, определяется для каждой сингонии соотношением между осевыми единицами (табл. 1).
Таблица 1.
| Сингония | Угловые соотношения | Осевые единицы |
| Кубическая | a=b=g= 90° | a0=b0=c0 |
| Тетрагональная | a=b=g= 90° | a0=b0¹c0 |
| Ромбическая | a=b=g= 90° | a0¹b0¹c0 |
| Моноклинная | a=g= 90°¹ b | a0¹b0¹c0 |
| Триклинная | a¹b¹g¹ 90° | a0¹b0¹c0 |
| Гексагональная | a=b= 90°, g =120° | a0=b0¹c0 |
В методе параметров (метод Вейса) для определения грани используется тройка безразмерных векторов a, b, c, соответствующих отрезкам, отсекаемым гранью на координатных осях и измеренных с помощью осевых единиц a0, b0, c0 (рис. 1) a=OA/a0, b=OB/b0, c=OC/c0.
Для выбора масштаба измерения, после установки кристалла, среди его наиболее развитых граней находят такую, которая пересекает все три оси. Отрезки, отсекаемые такой гранью кристалла, принимают за единичные, а саму грань - за единичную. Её параметры: (1:1:1). Чтобы определить параметры любой другой грани кристалла, необходимо найти соотношение отрезков, отсекаемых ею на координатных осях и отнесенных к соответствующим единичным отрезкам a0, b0, c0.
Такое обозначение граней с помощью параметров имеет один существенный недостаток: неудобство обозначения граней, параллельных координатным осям. Например, грань, параллельная плоскости XOY, запишется как (¥:¥:1), поскольку такая грань пересекает лишь ось Z. Между тем, грани параллельные координатным осям, представляют для кристаллографии особый интерес.
В методе индексов (метод Миллера) положение любой грани кристаллов в трехосной системе координат определяется тройкой целых, как правило, небольших, взаимно-простых чисел – индексов h, k, l, представляющих собой отношение обратных величин параметров. Тогда грань, параллельная плоскости XOY будет иметь индексы h:k:l=1/¥:1/¥:1/1=0:0:1. Индексы грани заключают в круглые скобки, не разделяя их друг от друга никакими знаками. Следовательно, рассмотренная выше грань имеет символ (001).
В кристаллографической практике метод индексов Миллера получил широкое распространение. Следует иметь в виду, что параллельные грани имеют один и тот же символ, соответствующий грани ближайшей к началу координат.
Благодаря высокой симметрии кубических кристаллов, их индицирование (определение индексов всех граней) осуществляется достаточно просто. Единичная грань кубического кристалла должна составлять с координатными осями равные углы и отсекать на них равные отрезки. Легко видеть, что такой гранью может быть выбрана грань октаэдра или тетраэдра, через которую проходит поворотная ось третьего порядка.
Символы ребер
Любое направление (ребро кристалла) в данной системе координат может быть задано: 1) двумя точками, лежащими на заданном направлении, не проходящим через начало координат; 2) одной точкой, если направление проходит через эту точку и начало координат.
Если осевые единицы единичной грани равны a0, b0, c0, а точки А (x1, y1, z1) и В (x2, y2, z2) лежат на заданном направлении, то проекции отрезка АВ будут равны:
(AB)x=x2-x1, (AB)y=y2-y1, (AB)z=z2-z1.
Тогда символ направления [r s t] определится как
.
Таким образом, заданное направление определяется отношением трех проекций отрезка, лежащем на этом направлении, к соответствующим осевым единицам и выражается с помощью целых взаимно простых чисел r, s, t, записываемых в квадратных скобках [r s t]. В случае, когда заданное направление проходит через точку А [[000]] начала координат и точку В [[x y z]] можно записать.
Из приведенного выше правила определения символов ребер следует, что если данный отрезок АВ или данное направление перемещать в пространстве параллельно самому себе, то его символ не изменится.
Заданное направление может быть определено и с помощью углов a, b, g, которые оно образует с координатными осями x, y, z. Для отрезка АВ, лежащего на заданном направлении, можно записать:
.
В кубических кристаллах:
.
Несложные геометрические рассмотрения показывают, что для кубических кристаллов отношение направляющих косинусов нормали к грани (h k l) пропорционально отношению индексов:
,
отсюда:
.
Таким образом, при индицировании направлений в кубических кристаллах следует помнить, что символы направления и перпендикулярной ему грани обозначаются одинаковыми индексами. Например, направление [111] перпендикулярно грани (111), а направление [110] – грани (110).
Основные кристаллографические соотношения
1. Угол между двумя направлениями.
Чтобы найти угол между двумя направлениями [r1, s1, t1], [r2, s2, t2] необходимо вспомнить одно из правил аналитической геометрии о нахождении скалярного произведения двух векторов 
.
.
Если 
.
(Здесь 
- тройка единичных векторов координатной системы), то для прямоугольной системы координат имеем:
,
.
Откуда
.
2) Угол между направлением и плоскостью
Учитывая, что для кубических кристаллов перпендикуляры к плоскостям (h k l) изображаются как [ h k l ], легко найти угол a между таким перпендикуляром и заданным направлением [ r s t ].
Исходный угол будет дополнительным к 90°, т.е. b=(90°-a) и определится как
.
3) Условие зональности.
Кристаллографической зоной называется совокупность граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны. Чтобы какая-либо плоскость (h k l) принадлежала зоне, ось которой [r s t], необходимо, чтобы направление, параллельное оси зоны, лежало в этой плоскости. Следовательно, косинус угла a между перпендикуляром к заданной плоскости (h k l) и осью зоны [r s t] должен быть равен нулю. При этом условие зональности для кубических кристаллов может быть записано как
.
Используя условие зональности, легко определить символ ребра [ r s t ], образованного двумя гранями (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) из совместного решения уравнений:
.
Решение данной системы уравнений можно представить в виде:
Рассмотренную задачу можно назвать нахождением символа зоны по символам граней кристалла.
Аналогичным образом решается задача о нахождении символа грани (h k l), в которой лежат два заданных направления [ r1 s1 t1 ] и [ r2 s2 t2 ]. В этом случае решение системы уравнений
Дает индексы искомой грани (h k l).