Краткие сведения из теории колебательных систем

Широкополосное согласование комплексных нагрузок на основе теории связанных контуров

к.т.н. В.А. Яковенко

На основе теории одиночных и связанных колебательных контуров разработана методика расчета согласующих цепей простых комплексных нагрузок. Получены соотношения для оценки потенциальных возможностей согласования нагрузок и определения параметров элементов одно- двух- и трехзвенных полиномиальных и оптимальных согласующих цепей при максимально плоской и чебышевской характеристиках рабочего затухания. Полученные расчетные соотношения особенно удобны при расчетах с помощью ЭВМ, так как не требуют ввода в ЭВМ больших массивов чисел, составляющих содержание расчетных таблиц.

Инженерные методики расчета широкополосных согласующих цепей (СЦ) хорошо разработаны особенно для простых типов нагрузок. Как правило, они базируются на табличных зависимостях /1,2/ и позволяют рассчитать отвечающую требованиям практики оптимальную чебышевскую СЦ. При этом, как правило, применяются цепи с количеством звеньев не более трех, так как с дальнейшим увеличением количества звеньев сложности реализации и настройки существенно растут, а потенциальные возможности согласования цепи увеличиваются незначительно. Ниже предлагаются полученные на основе теории одиночных и связанных контуров относительно простые аналитические соотношения, позволяющие произвести оценку потенциальных возможностей согласования комплексной нагрузки и произвести расчет элементов одно-, двух- и трехконтурных полиномиальных и оптимальных СЦ при максимально плоской и чебышевской аппроксимации рабочего затухания цепи.

Краткие сведения из теории колебательных систем

Теория колебательных систем в наиболее полном виде была разработана в 30-х годах прошлого века З.И. Моделем /3/ и базируется на нескольких основополагающих понятиях, среди которых одним из основных является понятие резонанса. Различают два типа резонанса - последовательный (резонанс напряжений) и параллельный (резонанс токов). Первый из них наблюдается в последовательной цепи, состоящей из индуктивности , емкости и резистора , второй - в параллельной цепи из таких же элементов. Частота , на которой наблюдается резонанс, определяется величинами входящих в состав контуров и , не зависит от и равна Величина сопротивлений емкости и индуктивности на резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением контура. Отношение запасаемай в реактивных элементах контура к рассеиваемой за период колебаний резонансной частоты в его диссипативном (резистивном) элементе энергий называется добротностью контура . Для последовательного контура , для параллельного -

Каноническая структура системы связанных контуров предполагает чередование рассмотренных выше двух типов контуров, связанных между собой внутри- или внешнеемкостной, внутри- или внешнеиндуктивной связью. В предположении отсутствия потерь в промежуточных контурах, что вполне оправдано при относительных полосах пропускания цепи гораздо больших обратной величины ненагруженной добротности контура, система связанных контуров характеризуется следующими параметрами. Добротность нагрузочного (последнего от генератора) контура определяется так же, как и для одиночного контура. Приведенная добротность промежуточного контура где - добротность контура; - коэффициент связи между -тым и контурами. Коэффициент связи между контурами определяется величинами элемента связи и одноименных элементов взаимно связанных контуров. При внутриемкостной и внешнеиндуктивной связях

При внутриемкостной и внешнеиндуктивной связях

Здесь штрихами помечены элементы соответствующих парциальных контуров системы, и - элементы связи между -тым и -м контурами.

Парциальным называется контур в составе системы связанных контуров эквивалентный исходному по резонансной частоте и характеристическому сопротивлению. Парциальный контур получается при закорачивании связанных с ним параллельных и размыкании связанных с ним последовательных контуров.

Основной характеристикой колебательной системы является частотная характеристика его коэффициента передачи . Для одноконтурной системы квадрат модуля коэффициента передачи

(1)

где - относительная расстойка; - для последовательного контура и - для параллельного; и - внутреннее сопротивление и эдс генератора, а нагрузкой служит резистор контура.

Для двухконтурной системы

(2)

Здесь - обобщенная расстройка; - обобщенный фактор связи; - фактор связи; , если первый (генераторный) контур последовательный и , если первый контур параллельный; - входное сопротивление системы на резонансной частоте; - характеристическое сопротивление первого парциального контура; - приведенная добротность первого контура; - коэффициент связи между контурами.

Для системы трех связанных контуров

(3)

Здесь и - факторы связи между первым и вторым, вторым и третьим контурами соответственно;

если первый (Генераторный) контур последовательный и если первый контур последовательный.

Форма частотной характеристики модуля коэффициента передачи цепи зависит от степени связи между контурами системы. Так в двухконтурной системе при связи меньше критической, когда , эта зависимость одноэкстремальная (одногорбая). При связи больше критической, когда больше , в частотной характеристике появляется провал и она приобретает двугорбый характер. Примечательно, что критической связи между контурами соответствует максимально плоская аппроксимация характеристик цепи, а связи больше критической - чебышевская аппроксимация. Это утверждение справедливо при любом числе контуров цепи.

2.Потенциальные возможности согласования комплексной нагрузки

Фундаментальная оценка сверху для качества согласования любой комплексной нагрузки была получена Фано /1/ на основании работ Боде /4/ где - полосовая добротность нагрузки; - полоса согласования; - средняя частота полосы согласования; - нижняя и верхняя частоты полосы согласования. В практике расчетов СЦ такая оценка малопригодна, поскольку она не дает ответа на вопрос о качестве согласования при конечном числе элементов цепи.

Соотношения, связывающие качество согласования с полосовой добротностью нагрузки для конкретного типа и числа элементов СЦ можно получить из выше приведенных выражений для квадрата модуля коэффициента передачи цепи (1)-(3). Рассмотрим это на примере двухзвенных СЦ.

Пусть СЦ состоит из двух связанных контуров (двухзвенная цепь). Тогда

Если полосовая добротность нагрузки меньше единицы, то расчет СЦ целесообразно производить на допустимый в полосе согласования модуль коэффициента отражения при (полиномиальная СЦ). При этом избыток потенциальных возможностей согласования цепи используется для улучшения ее фильтрующих свойств. Поскольку характеристика двугорбая лишь при условии меньше единицы, числено равна коэффициенту бегущей волны КБВ на входе цепи при

(4)

Исследуя на экстремум, легко найти и

(5)

С другой стороны, для полиномиальной СЦ, как это следует из (2)

(6)

Из (5) и (6) с учетом (4) определим обобщенный фактор связи , соответствующий заданному качеству согласования , то есть заданному значению

(7)

Приравнивая правую часть (7) выражению для из (2), определим фактор связи соответствующий заданному

(8)

Обобщенную расстройку , соответствующую краю полосы согласования, определим из условия равенства единице

(9)

Отсюда, с учетом (7) и выражения для из (2), получаем требуемую для обеспечения заданного качества согласования полосовую добротность нагрузочного контура

(10)

Минимально возможная величина равна полосовой добротности нагрузки При этом соотношение (10) является предельным для двухзвенной полиномиальной чебышевской СЦ. Из него следует соотношение

связывающее качество согласования с добротностью и полосой согласования нагрузки при согласовании ее двухзвенной полиномиальной чебышевской СЦ.

Если полиномиальная цепь не дает удовлетворительного качества согласования, что может быть при больше единицы, следует провести оптимизацию СЦ по критерию минимума в заданной полосе согласования. Для этого следует предположить, что ни на одной из частот СЦ не обеспечивает идеального согласования. В этом случае

. (11)

Из (11), (9) и выражений для и из (2) следует уравнение, связывающее основные параметры двухзвенной СЦ

(12)

Оптимальное значение , соответствующее максимуму , то есть минимуму , находится приравниванием производной правой части (12) по и равно

(13)

Соответствующее минимальное значение находится из (12) с учетом (13) и равно

. (14)

Минимальное значение в полосе согласования при этом определяется из выражения

где

При соотношение (14) является предельным для двухзвенной оптимизированной чебышевской СЦ. Расчеты показывают, что оптимизированная таким образом СЦ является оптимальной в смысле Боде-Фано.

Аналогичным образом полученные предельные соотношения для одно-, двух- и трехзвенных полиномиальных и оптимальных СЦ с максимально плоской и чебышевской характеристиками рабочего затухания сведены в табл. 1.

Таблица 1.

Тип цепи	Однозвенная СЦ
Полиномиальная
Оптимальная
	Двухзвенная СЦ

Полиномиальная	Чебышевская
Максимально плоская
Оптимальная	Чебышевская
Максимально плоская

Полиномиальная	Чебышевская
Максимально плоская
Оптимальная	Чебышевская
Максимально плоская	определяется как единственный вещественный корень уравнения

С помощью соотношений Табл.1 по известным параметрам нагрузки и заданной полосе согласования можно определить для конкретного типа СЦ предельное значение качества согласования и выбрать подходящую СЦ.