математического образования

Числа и величины

Счёт предметов. Чтение и запись чисел от нуля до миллиона. Классы и разряды. Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых. Сравнение и упорядочение чисел, знаки сравнения.

Измерение величин; сравнение и упорядочение величин. Единицы массы (грамм, килограмм, центнер, тонна), вместимости (литр), времени (секунда, минута, час). Соотношения между единицами измерения однородных величин. Сравнение и упорядочение однородных величин. Доля величины (половина, треть, четверть, десятая, сотая, тысячная).

Арифметические действия

Сложение, вычитание, умножение и деление. Названия компонентов арифметических действий, знаки действий. Таблица сложения. Таблица умножения. Связь между сложением, вычитанием, умножением и делением. Нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Деление с остатком.

Числовое выражение. Установление порядка выполнения действий в числовых выражениях со скобками и без скобок. Нахождение значения числового выражения. Использование свойств арифметических действий в вычислениях (перестановка и группировка слагаемых в сумме, множителей в произведении; умножение суммы и разности на число).

Алгоритмы письменного сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел.

Способы проверки правильности вычислений (алгоритм, обратное действие, оценка достоверности, прикидки результата, вычисление на калькуляторе).

Текстовые задачи

Решение текстовых задач арифметическим способом. Задачи, содержащие отношения «больше (меньше) на ¼», «больше (меньше) в ¼». Зависимости между величинами, характеризующими процессы движения, работы, купли ‑ продажи и др. Планирование хода решения задачи. Представление текста задачи (схема, таблица, диаграмма и другие модели ). Задачи на нахождение доли целого и целого по его доле.

Пространственные отношения.

Геометрические фигуры

Взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости (выше ‑ ниже, слева ‑ справа, сверху ‑ снизу, ближе ‑ дальше, между и пр.). Распознавание и изображение геометрических фигур: точка, линия (кривая, прямая), отрезок, ломаная, угол, многоугольник, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность, круг. Использование чертёжных инструментов для выполнения построений. Геометрические формы в окружающем мире. Распознавание и называние: куб, шар, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус.

Геометрические величины

Геометрические величины и их измерение. Измерение длины отрезка. Единицы длины (мм, см, дм, м, км). Периметр. Вычисление периметра многоугольника.

Площадь геометрической фигуры. Единицы площади (см², дм², м²). Точное и приближённое измерение площади геометрической фигуры. Вычисление площади прямоугольника.

Работа с информацией

Сбор и представление информации, связанной со счётом (пересчётом), измерением величин; фиксирование, анализ полученной информации.

Построение простейших высказываний с помощью логических связок и слов («и»; «не»; «если... то ¼»; «верно/неверно, что ¼»; «каждый»; «все»; «некоторые»). Установление истинности утверждений.

Составление конечной последовательности (цепочки) предметов, чисел, геометрических фигур и др. по правилу. Составление, запись и выполнение простого алгоритма, плана поиска информации.

Чтение и заполнение таблицы. Интерпретация данных таблицы, чтение столбчатой диаграммы. Создание простейшей информационной модели (схема, таблица, цепочка).

Стандарт ориентирован не только на знаниевый, но в первую очередь, на деятельностный компонент образования.

Следуя системно-деятельностному подходу в обучении, основное содержание примерной программы представлено двумя частями: собственно математическим содержанием курса математики в начальных классах и основными видами учебной деятельности обучающихся, которые приобретают своеобразие через предметное содержание курса математики.

К основным видам учебной математической деятельности относят:

- моделирование ситуаций, требующих упорядочения предметов и математических объектов (по длине, массе, вместимости, времени), описание явлений и событий с использованием величин;

- обнаружение моделей геометрических фигур, математических процессов, зависимостей в окружающей среде;

- анализ и разрешение житейских ситуаций, требующих умения находить геометрические величины (планировка, разметка), выполнять построения и вычисления, анализировать зависимости;

- прогнозирование результата вычисления, решения задачи;

- планирование хода решения задачи, выполнения задания на измерение, вычисление, построение;

- сравнение способов вычислений, решения задач, выбор удобного способа;

- накопление и использование опыта решения разнообразных математических задач;

- пошаговый контроль правильности и полноты выполнения алгоритма арифметического действия, плана решения текстовой задачи, построения геометрической фигуры;

- поиск, обнаружение и устранение ошибок логического (в ходе решения) и арифметического (в вычислениях) характера;

- сбор, обобщение, и представление данных, полученных в ходе самостоятельно проведенных опросов;

- поиск необходимой информации в учебной и справочной литературе.

Предполагается, что освоение перечисленных видов деятельности обеспечит готовность обучающихся к дальнейшему образованию, необходимый уровень их математического развития, а именно:

- осознание возможностей и роли математики в познании окружающего мира, понимание математики как части общечеловеческой культуры;

- способность проводить исследование предмета, явления, факта с точки зрения его математической сущности (числовые характеристики объекта, форма размеры, продолжительность, соотношение частей и пр.);

- применение анализа, сравнения, обобщения, классификации для упорядочения, установления закономерностей на основе математических фактов, создания и применения моделей, для решения задач, формулирования правил, составления алгоритма действия;

- моделирование различных ситуаций, воспроизводящих смысл арифметических действий, математических отношений и зависимостей, характеризующих реальные процессы (движение, работа и т.д.);

- выполнение измерений в учебных и житейских ситуациях, установление изменений, происходящих с математическими объектами;

- прогнозирование результата математической деятельности, контроль и оценка действий с математическими объектами, обнаружение и исправление ошибок;

- осуществление поиска необходимой математической информации, целесообразное ее использование и обобщение.

Программа предлагает три варианта тематического планирования. Структура тематического планирования включает в себя перечень содержания курса, материалы тематического планирования и характеристику видов деятельности учащихся по каждому разделу программы.

Анализ содержания программы по математике на данной ступени обучения показывает, что центральное место в математическом образовании занимают разделы, связанные с арифметической составляющей данного курса. Здесь у учащихся формируется представление о натуральных числах, способах их записи и сравнения, вырабатываются вычислительные навыки, накапливается опыт решения текстовых задач арифметическим методом. Значительное влияние на развитие интуиции и логического мышления оказывают формируемые при этом виды деятельности.

Не менее важную роль в курсе математики начальной школы играет пропедевтика понятий функции и основных геометрических понятий, а также задач на перебор возможных вариантов, что будет служить началом проведения стохастической линии в школьном математическом образовании. Уже здесь на начальном этапе обучения математики мы можем увидеть материалы, направленные на пропедевтику изучения некоторых основных математических структур: алгебраической, вероятностной, теоретико-множественной.

Содержание и структура примерной программы по математике отражает направленность программы на достижение следующих целей.

Математическое развитие младшего школьника: использование математических представлений для описания окружающих предметов, процессов, явлений в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать обоснованные и необоснованные суждения.

Освоение начальных математических знаний. Формирование умения решать учебные и практические задачи средствами математики. Вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания, вариантов); понимать значения величин и способов их измерения; использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций; работать с алгоритмами выполнения арифметических действий, решения задач, проведения простейших построений. Проявлять математическую готовность к продолжению образования.

Воспитание критичности мышления, интереса к умственному труду, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.

Программа формирования универсальных учебных действий конкретизирует общекультурную составляющую программы и направлена на обеспечение системно-деятельностного подхода, положенного в основу стандарта. Она призвана способствовать реализации развивающего потенциала общего начального образования, развитию системы универсальных учебных действий, выступающей как инвариантная основа образовательного процесса и обеспечивающей школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию. Всё это достигается путём освоения обучающимися конкретных предметных знаний и навыков в рамках отдельных дисциплин и сознательного, активного присвоения ими нового социального опыта.

3. Универсальные учебные действия,

входящие в состав начального

математического образования

Перечислим виды универсальных учебных действий, формирование которых предусматривается в начальной школе в контексте каждого учебного предмета, в том числе и во всех ниже перечисленных вариативных программах по математике.

В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего начального образования, выделяется четыре блока:

1) личностный;

2) регулятивный(включающий также действия саморегуляции);

3) познавательный;

4) коммуникативный.

Личностные действияобеспечивают ценностно-смы-словую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности выделяется три вида личностных действий:

- личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

- смыслообразование, т. е. установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется; ученик должен задаваться вопросом: какое значение и какой смысл имеет для меня учение? ‑ и уметь на него отвечать;

- нравственно ‑ этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор.

Регулятивные действияобеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности. К ним относят:

- целеполаганиекак постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

- планирование‑ определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

- прогнозирование‑ предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

- контрольв форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

- коррекция‑ внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

- оценка‑ выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить; осознание качества и уровня усвоения;

- саморегуляциякак способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодолению препятствий.

Познавательные универсальные действиявключают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы.

Общеучебные универсальные действия:

- самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

- поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

- структурирование знаний;

- осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

- выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

- смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

- постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

- моделирование, т. е. преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графические или знаково-символические);

- преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логические универсальные действия:

- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

- синтез ‑ составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

- выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

- подведение под понятие, выведение следствий;

- установление причинно-следственных связей;

- построение логической цепи рассуждений;

- доказательство;

- выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

- формулирование проблемы;

- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Коммуникативные действияобеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми. К коммуникативным действиям относятся:

- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками ‑ определение цели, функций участников, способов взаимодействия;

- постановка вопросов ‑ инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

- разрешение конфликтов – выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

- управление поведением партнера ‑ контроль, коррекция, оценка его действий;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий осуществляется в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сферы ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной деятельности ребенка и тем самым определяет зону ближайшего развитияуказанных универсальных учебных действий и их свойства [39].

Таким образом, особенностью содержания современного начального образования является не только ответ на вопрос, что ученик должен знать (запомнить, воспроизвести), но и формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих способность к организации самостоятельной учебной деятельности. Наряду со знаниевым компонентом (функциональной грамотностью младшего школьника), в программном содержании обучения представлен деятельностный компонент, что позволяет соблюсти баланс теоретической и практической составляющих содержания образования.

Примерная федеральная программа начального общего образования по математике [62] является основным ядром для разработки программ в вариативных системах обучения. В существующих авторских программах расширяется содержательный компонент программы, предлагается собственный подход к структурированию учебного материала, определению последовательности его изучения, выбору путей формирования универсальных учебных действий, которые выстраиваются с учетом концептуальных положений каждой из альтернативных программ. Ниже предлагается краткий обзор программ по математике в некоторых образовательных системах.

В системе В.В. Давыдова – Д.Б. Эльконина имеется несколько вариантов программ (В.В. Давыдова, Э.И. Александровой и др.)

Учебные программы в системе В.В. Давыдова ‑ Д.Б. Эльконина построены на основе теории учебной деятельности. Своеобразие программ состоит в том, что они опираются на процесс активно-исследовательского усвоения знаний и умений, а не репродукцию готовых знаний, на творческое овладение генетическими истоками происхождения понятий. При этом в деятельности учащихся обязательно должны присутствовать мотив, система деятельности и контроль. Целью обучения математике в данных программах является формирование у младших школьников математических понятий на основе содержательного обобщения. Такой подход к построению программ предполагает выделение и исследование детьми условий происхождения генетических исходных отношений, определяющих данную систему понятий (В.В. Давыдов [27]). Основным содержанием программ является понятие рационального числа, изучение которого начинается с анализа генетически исходного отношения для всех видов отношений. Таким отношением, порождающим рациональное число, является отношение величин.

Овладение понятием начинается не с определения понятия, а с решения учебно-практической задачи с опорой на ранее приобретенные умения.

Логика развертывания учебного материала построена таким образом, что решение одной задачи влечет за собой решение другой.

Обучаясь по данным программам, дети знакомятся с многозначными числами и арифметическими действиями над ними; изучают позиционные системы счисления; рассматривают десятичные дроби как частный случай позиционных систематических дробей и выполняют действия над десятичными дробями; работают с процентами, записывают их в виде десятичных дробей; составляют и решают задачи арифметическим и алгебраическим методами; решают различные виды уравнений; работают с величинами; изучают геометрические фигуры и тела.

В курсе отсутствуют концентры, характерные для традиционных программ начального обучения математике.

Особое место в курсе отведено текстовым задачам. Основная цель их изучения ‑ формирование рациональных способов анализа текстов и моделирования с помощью специальных знаково-символических средств.

В системе Л.В. Занкова [32] автором программы по математике является И.И. Аргинская.

Основным содержанием программы является понятие натурального числа и арифметические действия с натуральными числами. Расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также положительными и отрицательными числами. Для расширения и углубления представлений учащихся об арифметических действиях рассматриваются случаи выполнения операций с геометрическими фигурами: геометрическое сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число, деление на равные части. В 4 классе учащиеся знакомятся с еще одним действием – возведение в степень. Данное действие связывается с изучением таких величин как площадь и объем. В ходе изучения данного материала дети должны научиться возводить в степень, знать понятия «основание степени» и «показатель степени». Значительное место в программе занимает геометрический материал.

В соответствии с программой в начальный курс математики включены не только основные вопросы базового содержания, но и вопросы, расширяющие базовые понятия математики. Основной путь познания курса математики – индуктивный. Для этой программы характерно расширение и углубление содержания учебного материала; включение в начальный курс математики вопросов, обычно рассматриваемых на более поздних этапах обучения; включение элементов из истории математики, направленных на развитие познавательного интереса к предмету.

Основу курса математики в образовательной системе «Школа России»[61] составляют представления о целых неотрицательных числах (в пределах миллиона) и четыре арифметических действия с ними, а также прочное осознанное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Важное место в программе занимает ознакомление с такими величинами, как: длина, масса, объем (вместимость), время, площадь и способами их измерения. На протяжении всего обучения в начальной школе дети решают простые и составные сюжетные задачи. Наряду с решением готовых задач предусмотрены задания на самостоятельное составление задач, на преобразование решенной задачи и т.п. В процессе обучения учащиеся знакомятся с геометрическими фигурами. В программу включаются элементы алгебраической пропедевтики.

В данной программе полностью реализуется обязательная часть содержания образования, обозначенная в примерной программе начального образования по математике (стандарт второго поколения).

В основе программы по математике для начальной школы Н.Б. Истоминой [36]лежит то же содержание, что и в программе «Школа России». Отличие состоит в методах и последовательности изучения тем.

Программа Н.Б. Истоминой является наименее загруженной дополнительным материалом и в целом наиболее близка к проекту нормативного документа. В программе Н.Б. Истоминой основная роль «двигателя развития» ребенка в процессе обучения математике отводится построению методической системы, направленной на формирование приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания. Реализация данной цели обеспечивается следующими положениями.

1. Тематическим построением курса, создающим условия для осознания школьниками связей между новыми и ранее изученными понятиями, для осуществления продуктивного повторения, для активного использования в процессе обучения приемов умственной деятельности.

2. Новым подходом к изучению математических понятий, свойств и способов действия, в основе которого лежит установление соответствия между предметными, словесными, графическими (схематическими) и символическими моделями, их выбор, преобразование и конструирование, в соответствии с заданными условиями.

3. Своеобразным подходом к формированию вычислительных навыков и умений, который создает условия не только для повышения качества вычислительной деятельности младших школьников, но и для развития мышления.

4. Формированием общего приема решения задач при обучении младших школьников решению текстовых задач. В соответствии с этим методическим приемом дети знакомятся с текстовой задачей только после того, как у них сформированы знания, умения и навыки, необходимые для овладения умением решать текстовые задачи. К ним относятся навыки чтения, усвоение конкретного смысла действий сложения и вычитания, приобретение опыта в соотнесении предметных, словесных, схематических и символических моделей, знакомство со схемой как способом моделирования.

5. Преимущественно диалоговая форма обучения. Диалоги помогают учителю не только привлечь учащихся к обсуждению того или иного вопроса, но и самому включиться в эту работу, заняв тем самым не контролирующую позицию, а помогающего детям и сотрудничающего с ними.

Программа по математике в образовательной системе «Начальная школа XXI век» автор В.Н. Рудницкая обогащена сведениями из других разделов математики, включая элементы логики, теории графов с целью установления перспективы математического образования в основной школе и для реализации деятельностного подхода, заключающегося в предъявлении учебного материала дискуссионного характера.

В процессе обучения математике по данной программе школьники знакомятся с числами в пределах миллиона и выполняют с ними арифметические действия. С первого класса включено ознакомления учащихся с калькулятором. Программой предполагается расширение представлений школьников об измерении величин: вводится понятие о точном и приближенном значениях величин. Учащиеся изучают важные логико-математические понятия: высказывание, логические связки «и», «или», «если …, то …», «неверно, что …». Знакомятся со смыслом логических слов «каждый», «любой», «все», «кроме того», «какой-либо». Геометрическая часть содержания включает не только плоские фигуры, но и пространственные. При этом рассматривается взаимное расположение фигур на плоскости. Так же в программу включено понятие об осевой симметрии. Большое внимание в программе уделяется формированию у учащихся понятия переменной.

Сопоставительный анализ программ по системам Л.В. Занкова и В.В. Давыдова – Д.Б. Эльконина (авторы программ И.И. Аргинская и Э.И. Александрова) показывает, что они содержат значительно больший объем материала, чем это предусмотрено стандартом. Значимым отличием является работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости, содержат значительный по объему материал для работы с дробями, в том числе с процентами.

Программы Л.Г. Петерсон [107] и В.Н. Рудницкой [63] отличаются наибольшим уровнем насыщения курса математики начальной школы алгебраическим материалом и дробями (в том числе процентами). Программа В.Н. Рудницкой знакомит учеников начальных элементами формальной логики.

В программах В.Н. Рудницкой [63] и Э.И. Александровой [4] «вес» развивающего потенциала связан с усложнением арифметической (системы счисления и дроби), алгебраической (уравнения) и формально-логической (элементы теории множеств и логики) линий содержательного наполнения программ. Это обусловлено значимым влиянием на эти системы взглядов В.В. Давыдова на ведущую роль теоретического мышления в развитии ребенка младшего школьного возраста.

Закон «Об образовании в РФ» разрешает учителю осуществлять выбор программы из числа рекомендованных или допущенных Министерством образования и науки РФ, по которой он будет осуществлять обучение школьников математике в начальных классах. В то же время, учитель может адаптировать к условиям класса один из вариантов примерной ООП по математике, либо на ее основе разработать свой вариант программы по данной дисциплине.