Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.
Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:
1. Уравнение движения центра масс
| (3.19) |
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс
| (3.20) |
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.
В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.
Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11).
|
| Рис. 3.11. |
Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
|
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
| (3.23) |
Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.
Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y, совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:
|
откуда
| (3.27) |
Следует подчеркнуть, что 
- сила трения сцепления - может принимать любое значение в интервале от О до 
(сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае
| (3.28) |
Если цилиндр сплошной, то
| (3.29) |
Качение без проскальзывания определяется условием
| (3.30) |
где 
- коэффициент трения скольжения, 
- сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему:
| (3.31) |
или
| (3.32) |
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12).
|
| Рис. 3.12. |
Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:
| (3.33) |
Здесь
| (3.34) |
В проекции на ось вращения (ось y)
| (3.35) |
Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
| (3.36) |