Частотные характеристики.. Идеальный ОУ характеризуется коэффициентом усиления Ku, не зависящим от частоты усиливаемого сигнала (рис. 21 - сплошная линия). В реальных ОУ усиление по напряжению уменьшается с возрастанием частоты сигнала (пунктирная линия на рис. 21). Это свидетельствует о наличии в канале усиления реактивных элементов. Последнее означает, что наряду с уменьшением усиления в операционных усилителях наблюдается и сдвиг фазы выходного напряжения относительно входного. В электронике и автоматике одновременную зависимость коэффициента передачи и фазового сдвига от частоты принято определять передаточной функцией. Под передаточной функцией понимается отношение изображения по Лапласу выходного напряжения усилителя к его входному напряжению. Поскольку любой операционный усилитель представляет собой сложное многотранзисторное устройство, то его передаточная функция имеет вид:
(7)
где Ku (0) - коэффициент усиления на нулевой или близкой к ней частоте сигнала; T1, Т2, Т3, Т4 и т.д. - полюсы передаточной функции усилителя (постоянные времени). Передаточные функции существующих операционных усилителей содержит только полюсы и не содержит нулей, усиление убывает монотонно (см. рис. 21).
Рис. 21
У существующих операционных усилителей постоянные времени T4, Т5 и т.д. соответствуют | Ku(s) | < 1. Это позволяет представить передаточную функцию ОУ при | Ku(s) | > 1 в виде
(7а)
Дополнительно у реальных операционных усилителей наблюдается T1≥10T2, а T2 и Т3 достаточно близки.
От передаточной функции (7а) просто перейти к комплексному частотно-зависимому коэффициенту передачи усилителя. Для этого достаточно приравнять s=jω=j2πf, а T1=1/ω1=1/2πf1, T2=1/ω2=1/2πf2, T3=1/ω3=1/2πf3, отсюда
(7б)
Соотношение (7б) позволяет определить как зависимость коэффициента передачи усилителя от частоты Ku(f), так и зависимость сдвига фазы в нем от частоты φд(f). Находятся эти зависимости в результате достаточно громоздких вычислительных процедур. Именно это обстоятельство привело к появлению их геометрической интерпретации.
Построение логарифмических амплитудно-частотных характеристик (Л АХ). ЛАХ представляет собой асимптотическую логарифмическую характеристику, отражающую зависимость модуля коэффициента передачи усилителя от частоты. Сущность процедуры построения лучше всего показать на примере простейшей передаточной функции, имеющей всего один полюс:
или (7в)
ЛАХ такого усилителя
представляется суммой двух слагаемых. Первое 20lgKu(0) не зависит от частоты, т.е. представляется прямой, параллельной оси частот и отстоящей от нее на величину, равную 201gKu(0) децибел (прямая 1 на рис. 22).
Рассмотрим второе слагаемое исследуемой суммы. Положим, что f>>f1 тогда
. На низкой частоте второе слагаемое аппроксимируется прямой, совпадающей с осью нуля децибел. Это и есть первая асимптота второго слагаемого. Пусть теперь f>>f1. В этом случае
Это также прямая, имеющая отрицательный наклон.
Она и есть вторая асимптота второго слагаемого. Ее наклон можно вычислить в понятиях либо октав - частота меняется вдвое, либо декад - частота меняется в десять раз.
В первом случае наклон равен
Во втором
Упомянутые асимптоты пересекаются в точке f=f1, ибо в ней
Таким образом, второе слагаемое представляется ломаной линией, состоящей из прямой, совпадающей с осью нуля децибел и продолжающейся до точки f=f1. Начиная с точки f=f1, ломаная линия продолжается наклонной прямой с отрицательным наклоном -20 дБ/дек. Таким образом, ЛАХ второго слагаемого представляется ломаной 2 (рис. 22).
Добавив к прямой 1 ломаную 2, получим ЛАХ по формуле (7в) -пунктир на рис.23. Этот аппроксимированный график отражает зависимость | Ku(jf) |.
Таким образом, процедура построения ЛАХ много проще вычисления |Ku(jf) |. В самом деле, для построения ЛАХ достаточно вычислить 20lgKu(0), провести прямую, параллельную оси частот отстоящую от нее на величину 201gKu(0) децибел, довести ее до вертикали, восстановленной из точки f1 Начиная из этой точки провести прямую с наклоном -20дБ/дек. Вот и вся процедура построения.
В случае более сложных передаточных функций построение остается
столь же простым. Рассмотрим, например, построение ЛАХ для передаточной функции с двумя полюсами:
В этом случае
Это значит, что новая ЛАХ получится из предыдущей добавлением к ней еще одной ломаной линии, представленной прямой «нуль децибел», и прямой с наклоном -20дБ/дек, имеющей излом на частоте f=f2- кривая 3 на рис. 22. Результирующая ЛАХ представлена на рис. 22.
Построение ЛАХ более сложных систем столь же просто:
∙ провести прямую, параллельную оси частот и отстоящую от
нее на величину 20lgKu(0) до пересечения с вертикалью, восстановленной из точки, соответствующей наименьшей частоте излома;
∙ далее провести наклонную прямую с наклоном -20 дБ/дек
вертикали, восстановленной из точки, соответствующей следующему полюсу,
∙ начиная с этой точки наклон прямой увеличивается, т.е. нужно
провести прямую с наклоном, равным -20+(-20) = - 40дБ/дек;
• при большем количестве полюсов процедура повторяется.
При работе с ЛАХ необходимо иметь в виду, что это —
аппроксимированные характеристики зависимости KU(f). Реальные зависимости Ku(f) отличаются, как известно, от аппроксимированых т.е. ЛАХ представляют фактическую зависимость Ku(f) с погрешностью. На рис.23 пунктирной линией показана фактическая зависимость Ku(f), а сплошной ломаной линией - зависимость Ku(f), соответствующая передаточной функции, имеющей один полюс. В точке излома расхождение составляет ЗдБ (около 30%).
В самом деле, для усилителя с передаточной функцией, имеющей один полюс, фактический коэффициент передачи на частоте излома f1 =fcp
.
или
На частоте f2=0,5fср, а также на частоте f3=2fcp это отличие составит около -1 дБ (рис. 23).
Поскольку ОУ не содержат разделительных конденсаторов, т.е. они усиливают не только сигналы переменного, но и постоянного тока, их ЛАХ от нулевой частоты до частоты излома f1 остается плоской. Она практически параллельна оси частот. На частоте f1 усиление уменьшается приблизительно на 30%. Принято называть частоту устройства, при которой коэффициент его передачи уменьшается на 3 дБ, частотой среза f1 =fcp.
Построение фазочастотных характеристик. Эти характеристики строятся аналитически, т.е. расчетным путем. Вместе с тем возможно и их упрощенное построение с использованием графического метода. Аналитически фазочастотная характеристика усилителя определяется соотношением
Она представляется нулем и разностью одинаковых элементов, число которых равно числу полюсов передаточной функции.
Элементы приведенного уравнения легко вычисляются обычно для диапазона частот, составляющую ±1 декаду от соответствующей частоты излома.
Возможно упрощенное графическое построение фазочастотных характеристик. Применительно к передаточной функции с одним полюсом эта процедура выглядит следующим образом.
Аналитически фазочастотная характеристика
С приемлемой для практики погрешностью эта характеристик строится графически. Для этого достаточно найти асимптоты выражения
При f<0,1f1 φ = 0;
При f>10f1 φ = -90°;
При f=f1 φ = -45°;
при 0,1f1<f<10f1, φ = -45° (l+lgf/f1,).
Если ось частот логарифмическая, то последнее соотношений представляется наклонной прямой, проходящей через точки f' =0,1f1, f"<10f1, f'''=f1 (φ=-45°). На рис. 24 представлены фактическая (пунктир) и аппроксимированная (сплошная линия) зависимости φ(f) = -arctg f/f1
Погрешность аппроксимации не превышает 6°. Построение асимптотической характеристики очень простое:
∙построить асимптоту φ(f) = 0 - отрезок прямой, совпадающий с осью частот и заканчивающийся в точке f= 0,1f1;
∙построить асимптоту φ(f) = 90° - отрезок прямой, параллельный оси частот и начинающийся в точке f= 10f1;
∙конец и начало упомянутых асимптот соединить наклонной прямой, проходящей через точку φ(f) = - 45°.
Совместный анализ амплитудно- и фазочастотных характеристик. Как известно, в реальных операционных усилителях в диапазоне значений коэффициента усиления 1≤ Ku ≤ Ku max передаточная функция содержит три полюса. При этом f1≤0,lf2. Построение ЛАХ такого усилителя не представляет трудностей. На рис. 25 коэффициент передачи усилителя представляется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой - сплошной ломаной, а его фактическое значение - прерывистой линией.
Фазочастотная характеристика строится столь же просто либо аналитически, либо графически. В последнем случае погрешность построения оказывается вполне приемлемой.
Использование ОУ иногда требует совместного анализа амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик. На рис. 26, представлены ЛАХ операционного усилителя с тремя полюсами в передаточной функции (ломаная 1) и его фазочастотная характеристика (плавная кривая 1а).
Монотонному уменьшению коэффициента усиления с увеличением частоты соответствует монотонное же увеличение сдвига фазы в усилителе.
Как видно из рис. 26 на некоторой частоте дополнительный сдвиг фазы в усилителе φд =180°. Назовем эту частоту критической, на которой φд(fкр) = φд [ f (180°)]=-180°. Если в ОУ f1 ≤0,1 f2 и частоты f2 и f3 достаточно близки, то fкр = f (180) можно определить по формуле:
Таким образом, в обычном ОУ на частоте fкр = f (180) суммарный сдвиг фазы выходного напряжения относительно входного, прикладываемого к инвертирующему входу, оказывается равным φΣ = φ0 + φд(fкр) = -180° + (-180°) = - 360°, где φ0 = -180° - сдвиг фазы между инвертирующим входом ОУ и его выходом на нулевой частоте. Это значит, что инвертирующий вход усилителя в случае f=fкр превратится в неинвертирующий - фазы сигналов на инвертирующем входе и выходе ОУ совпадают. Что касается неинвертирующего входа, то на частоте f=fкр он становится инвертирующим.
Этот результат очень важен для построения электронных схем на основе обычных операционных усилителей.
Помимо обычных ОУ имеются и скорректированные. Они отличаются от обычных тем, что в диапазоне значений коэффициента усиления 1≤ Ku ≤ Ku max их передаточная функция содержит лишь один полюс, т.е. она имеет вид
ЛАХ такого усилителя представлена на рис. 26 пунктирной линией 2. Как и в случае обычных ОУ, здесь остальные возможные полюсы соответствуют усилениям Ku <1. На рис. 26 плавная кривая 2а отображает зависимость дополнительного сдвига фазы в скорректированном усилителе от частоты. Как следует из рис. 25, максимальный дополнительный сдвиг фазы в таком усилителе имеет место при Ku = 1. При этом φд [ Ku (1)]= -135°. Это значит, что результирующий максимальный сдвиг фазы в скорректированном усилителе относительно инвертирующего входа
φΣ [ Ku =1] = -180° + (-135°) = -315°. (9)
Отсюда следует, что во всем практически значимом диапазоне коэффициентов усиления в скорректированном усилителе не наблюдается превращение инвертирующего входа в неинвертирующий. Поскольку это превращение происходит при φд = -180°, то в скорректированном усилителе имеет место запас по фазе
φз = 180° -135° = 45°.
Наличие дополнительных полюсов, близких к оси нуля децибел, уменьшает этот запас по фазе.
Полоса пропускания, частота среза, частота единичного усиления. Существующие ОУ могут усиливать не только сигналы переменного, но и постоянного тока. Поэтому их коэффициент усиления остается приблизительно постоянным в диапазоне частот от f= 0 до некоторого ее значения, при котором усиление уменьшается на 3 дБ. Это и есть первая частота излома ЛАХ, обычно называемая частотой среза fср, т.е. f1 =fср.
Диапазон частот 0 ≤ f ≤ fcp называют полосой пропускания ОУ (ПП) (рис. 26). Поскольку любой усилитель усиливает сигналы нулевой частоты, то полоса пропускания усилителя равна его частоте среза. Как следует из рис. 26, полоса пропускания обычного усилителя шире полосы пропускания скорректированного. Важным параметром усилителя является частота единичного усиления f(1). Под этим параметром понимают частоту, при которой ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек пересекает ось нуля децибел, т.е. ось, соответствующую коэффициенту усиления усилителя, равному единице. В случае ОУ с несколькими полюсами в передаточной функции для определения f(1) участок ЛАХ с наклоном -20дБ/дек приходится экстраполировать (см. рис. 26).
Зависимость параметров операционного усилителя от частоты. В реальных ОУ с увеличением частоты усиливаемого сигнала уменьшается не только коэффициент усиления по напряжению, но и приблизительно так же уменьшается и коэффициент ослабления синфазной помехи. Тем самым любой ОУ меньше ослабляет синфазные помехи более высокой частоты.
Рис. 27
С увеличением частоты усиливаемого сигнала уменьшаются также входное дифференциальное сопротивление и входные синфазные сопротивления. На малых частотах они чисто резистивные (рис. 27, а). Однако с увеличением частоты начинают проявляться паразитные реактивности (рис. 27, б). Соответствующие зависимости графически представлены на рис. 27.