Психологические закономерности формирования математических понятий

Формирование математических понятий

Пропедевтика понятий

Пропедевтика (гр. propaideuo- обучаю предварительно) – введение в какую-либо науку. Следовательно, речь идет о предварительной подготовке учащихся к формированию математических понятий.

Математические понятия – важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. Каждая математическая наука и учебная дисциплина начинается с первичных, основных неопределяемых понятий. Все другие определяются и называются определяемыми, выводными или производными. Это можно сделать в систематических курсах математических дисциплин, т.е. на определенном уровне развития учащихся.

На начальной ступени обучения учащиеся знакомятся с большинством математических понятий наглядно, путем созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, например, при счете их. При этом учитель опирается на жизненный опыт учащихся.

Способы введения мат. понятий на начальном этапе изучения математики:

1) первое знакомство с математическими понятиями в начальных классах школы фиксируется с помощью термина и символа, без описания или определения понятия. Например, фигуры треугольник, квадрат, прямоугольник - еще в детском саду. Термин «меньше» и символ 2< 9; термин «сложение» и символ «+» и т.д.;

2) появляются первые определения (2 кл.) – «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением»;

3) некоторые понятия вводятся только с помощью термина (например, год, неделя, час, минута и др.);

4) описательное введение понятий (нумерация в пределах тысячи, меры длины);

5) некоторые понятия определяются генетически (окружность, 1 м - это квадрат со стороной 1 м).

Велика роль пропедевтики алгебраического и геометрического материала, особенно в 5-6 классах, где наряду с систематическим курсом арифметики изучаются начала алгебры и геометрии. Например, в учебнике Латотина Л.А., Чеботаревского Б.Д. «Математика 4»: геометрические понятия – окружность, круг, угол, смежные и вертикальные углы, прямоугольный параллелепипед, объем; алгебраические понятия - уравнение, выражение и его значение.

Таким образом, в курсе математики ведется подготовка к изучению курсов алгебры и геометрии. Но не только на уроках математики, возможна пропедевтика и в других курсах, например, физики – понятие производной (мгновенная скорость), черчения – изображение пространственных фигур в стереометрии и др.

В отдельных случаях, когда изучение понятия представляет собой существенные трудности, период первоначального озна­комления с понятием растягивается во времени, на протяжении которого учащиеся многократно сталкиваются с понятием, по­степенно расширяя круг представлений о нем. Например, одно из важнейших понятий современного школьного курса матема­тики - функция. Усвоение этого понятия возможно лишь при ус­ловии перехода от статического к диалектическому мышлению, что совершается не вдруг. Само понятие функция вводится в седь­мом классе. Но в пятом и шестом классах сознание учащихся го­товится к восприятию этого понятия. В качестве пропедевтики понятия функция в учебниках пятого и шестого классов рассмат­риваются различные упражнения. Функция как зависимость, за­кон соответствия, соответствие между отдельными элементами некоторых множеств проявляют себя в таких упражнениях, как составление выражений, отыскание значений выражения в зави­симости от значений параметров, входящих в него. Функциональной пропедевтикой явля­ется изучение темы «Координатная плоскость».

Психологические закономерности формирования математических понятий

Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, то есть "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.

Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.

Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.

Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.

Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).

Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, то есть отделения общих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий.

Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.

Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором.

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.

 

Этапы процесса обучения	Психологические ступени формирования понятия	Конкретное словесное или символическое выражение данного понятия; конкретные модели данного понятия
1-й шаг. Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность изучения этого понятия.	Восприятие и ощущение	Строительство железной дороги на прямых участках пути (укладка рельсов); контуры проема двери
2-й шаг. Выявление различных существенных и несущественных признаков данного понятия (учащиеся), введение термина, обозначающего данное понятие (учитель)	Переход от восприятия к представлёнию	1) Горизонтальное расположение прямых (несущественный признак) 2) Равноотстоящие друг от друга (существенный признак) З) Прямые, не имеющие общих точек (существенный признак) 4) Прямые бесконечно продолжаются в обе стороны (несущественный признак)
Мотивировка термина, обозначающего данное понятие (учитель)		Параллельный от греческого слова parallelos, означающего «рядом идущий»
Рассмотрение особых случаев, если они имеются		Отмечается, что совпадающие прямые также находятся друг от друга на одинаковом (равном нулю расстоянии)
З-й шаг. Отбор существенных свойств понятия и формулировка определений этого понятия; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся)	Переход от представления к понятию	1) Параллельные прямые - пара равноотстоящих прямых (нечётко, контрпример: стороны некоторого угла являются также в некотором смысле равноотстоящими по отношению к его биссектрисе) 2) Параллельные прямые не имеют общей точки (неполное: контрпример - скрещивающиеся прямые, совпадающие прямые и т.д.
Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся)		З) Определение: «две прямые a и b, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек»
Символическое обозначение		a//b или (АB)//(СВ)
4-й шаг. Иллюстрация понятия конкретными примерами; модели понятия (динамичные и статические); контрпримеры	Образование понятия	1) Ступеньки лестницы; 2) Плинтус пола в комнате и линия пересечения потолка с боковой стеной; З) Соответствующие ребра куба на его модели. 4) Пересекающиеся прямые.
5-й шаг. Другие возможные определения данного понятия (учитель не должен быть педантом, требующим дословного повторения формулировки определения, но должен проявлять нетерпимость к математической некорректности речи и записи)	Усвоение понятия	Можно дать определение по частям: 1) Параллельные – это прямые, которые: а) лежат в одной плоскости; б) не имеют общих точек 2) Параллельные прямые - прямые, лежащие в одной плоскости, которые не могут иметь только одну общую точку.

Этапы методики формирования математических понятий (мотивация, введение определения, усвоение определения, закрепление понятия, систематизация или подведение итогов)

Сущность этапа мотивации заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в стремлении вызвать интерес к изучению понятия.

Введение определения понятия может быть реализована в рам­ках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративно­го, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового опре­деления. Эти методы получили названия соответственно абстракт­но-дедуктивного и конкретно-индуктивного.

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

- анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение);

- выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют;

- формулируется определение;

- определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода:

- формулируется определение понятия;

- приводятся примеры и контрпримеры;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника.

При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий.

Введению определения на уроке предшествует работа учите­ля по выделению существенных и несущественных свойств понятия, определение которого подлежит изучению, анализу логичес­кой структуры этого определения, подбору примеров и контрпри­меров для закрепления и возможностей их вариации, анализу си­туаций, в которых наиболее часто встречается вводимое поня­тие. Анализ заканчивается выбором метода введения определе­ния.

Рассмотрим пример подготовки учителя к уроку по теме «Смежные углы». Определение смежных углов име­ет два существенных свойства: наличие у обоих углов общей сто­роны и то, что вторые стороны этих углов являются дополнитель­ными полупрямыми. Эти свойства связаны между собой конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место каждое свойство. Это значит, что контрпримеров этому понятию можно привести три: когда отсутствует первое или второе или оба свой­ства сразу. Какими несущественными свойствами обладает это понятие, то есть какие свойства допускают вариации? Это соотно­шения между величинами углов, произвольность расположения на плоскости. Целесообразно вместе с учащимися выделять и проговаривать не только суще­ственные свойства, но и несущественные. Такая работа позволя­ет учащимся легче узнавать объекты в наиболее часто встречаю­щихся задачных ситуациях, в которых участвуют смежные углы. Такими ситуациями для смежных углов являются ситуации, ког­да две прямые пересечены третьей прямой, в треугольниках, в разных видах четырехугольников.

Поскольку вводимое понятие смежных углов не очень слож­ное, то учитель может предпочесть частично-поисковый метод введения понятия. При этом цель урока может быть сформулиро­вана по-разному: получить определение смежных углов с помо­щью учащихся, научить учащихся его формулировать, узнавать смежные углы в различных ситуациях, подводить под определе­ние понятия смежных углов, исправлять ошибочные определения.

Рассмотрим фрагмент урока по введению понятия смежные углы. Классу представлены следующие рисунки:

 

а) б) в) г) д)

 

Далее процесс восприятия и осознания направляется вопроса­ми учителя к предложенным рисункам:

- назовите рисунки, на которых изображены два угла, имеющие одну общую сторону;

- назовите рисунки, на которых сторона одного угла является дополнительной полупрямой для стороны другого угла;

- на каких рисунках изображены углы, которые одновременно удовлетворяют двум предъявленным требованиям?

В беседе роль учащихся может быть усилена, а вопросы можно поставить так, что уровень самостоятельности учащихся повы­сится:

- что общего на рисунках а), б) и г)?

- что общего на рисунках б), в) и г)?

- назовите рисунки, изображения на которых удовлетворяют двум выделенным требованиям.

Далее учитель сообщает термин «смежные углы» и просит уче­ников сформулировать соответствующее определение. Для зак­репления выделенных существенных свойств учитель дает зада­ние обосновать, почему углы на рисунках а), в) и д) не являются смежными. Далее рассматривается, чем различаются смежные углы на рисунках б) и г) и чем вообще могут отличаться друг от друга пары смежных углов.

На этапе усвоения определения преследуются две цели: запомнить определение и научиться проверять, подходит объект под данное определение или нет. Этот этап осуществляется на специально составленных упражнениях – упражнениях на «да» и «нет» формулировка которых начинается со слов: «Является ли…»..

Например, такими упражнениями на узнавание смежных углов с дальнейшим подведением под определение могут быть задания выделить смеж­ные углы на рисунке и обосновать свои утверждения.

На этапе закрепления понятия решаются более сложные задачи, где используются как определение понятия, так и его свойства.

В практике решения задач при оперировании понятиями и их определениями актуальными являются умения: 1) подведение под определение; 2) подведение под понятие; 3) выделение «зоны по­иска»; 4) выведение следствий из определения.

Названные умения можно формировать в рамках приемов ум­ственной деятельности - совокупности мыслительных операций, направленных на решение задач определенного типа.

Структура приема подведения под опре­деление зависит от логического строения определения, то есть от того, каким образом, конъюнктивно или дизъюнктивно, связаны существенные свойства в определении.

Рассмотрим несколько определений.

1. Целым выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычита­ния, умножения и деления на число, отличное от нуля.

2. Целые и дробные выражения называются рациональными.

3. Треугольником называется фигура, состоящая из трех то­чек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

4. Трапецией называется четырехугольник, две стороны кото­рого параллельны, а две другие - нет.

5. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называет­ся неотрицательное число, квадрат которого равен а.

6. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Чем различаются действия подведения под определение в слу­чаях 1, 2 и 6 от аналогичных действий в случаях 3, 4, 5?

При подведении под определение, в котором существенные свойства связаны конъюнктивно (примеры 3,4,5), для отнесения некоторого объекта к множеству объектов, названных опреде­ленным термином, необходимо проверить наличие всех существенных свойств. Например, чтобы некоторое число b было арифме­тическим квадратным корнем из числа а, требуется выполнение двух условий: .

Если существенные свойства связаны между собой дизъюнк­тивно, то для отнесения объекта к множеству объектов, подпада­ющих под это понятие, достаточно выполнения отдельных суще­ственных свойств. Например, чтобы некоторое выражение мож­но было назвать рациональным, достаточно, чтобы оно было це­лым или дробным. Причем союз «или», который подразумевается в дизъюнктивно построенных определениях, обладает неразде­лительным смыслом. Например, чтобы выражение назвать целым, требуется, чтобы оно было построено с помощью любых действий, перечисленных в определении 1.

Рассмотрим, как могут выглядеть рассуждения при подведе­нии под определение, например, вписанного угла.

Вначале необходимо вспомнить определение: вписанным уг­лом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Затем выделяются существен­ные свойства определения: 1) угол; 2) вершина лежит на окруж­ности; 3) стороны пересекают окружность. Выясняется, что необ­ходимо проверить наличие каждого свойства согласно структу­ре данного определения. Затем на каждом из рисунков

проверяется наличие перечисленных свойств и формулируются соответствующие выводы.

Иногда применение приема подведения объекта под определе­ние затруднено в силу того, что определение дано в форме, кото­рой трудно воспользоваться и которая требует предварительного анализа и переформулирования. Рассмотрим, например, опреде­ление квадратного уравнения с одной переменной. Квадратным называется уравнение вида:

ах² + bх + с = 0, где а 0. Чтобы ответить на вопрос, являются ли, например, равенства (*) квад­ратными уравнениями с одной переменной, следует самостоятель­но выделить существенные свойства понятия, а именно: что это уравнение, что оно содержит одну переменную, что оно содержит в качестве одного из слагаемых вторую степень переменной со своим коэффициентом и не содержит степени переменной выше второй.

у-2х²=0; Зх²+5; 2х³+х²-5 = 0; 7х²-6 = 0 (*)

Следовательно, чтобы подвести некоторый объект под поня­тие согласно его определению, учащиеся должны вспомнить оп­ределение, выявить его существенные свойства, установить свя­зи между ними, например, с помощью вопроса, все ли существен­ные свойства должны выполняться, затем проделать операции, адекватные логическому строению определения, - проверить на­личие требуемых свойств в рассматриваемом объекте и сделать вывод относительно принадлежности рассматриваемого объекта к понятию: если существенные свойства связаны конъюнктивно, то для отнесения объекта к понятию необходимо выполнение всех свойств, а если дизъюнктивно - то некоторых.

Опыт показывает, что выполнение нескольких упражнений на подведение под определение способствует не только осознанию определения, но и его непроизвольному запоминанию.

Несколько сложнее выглядит прием подведения под понятие. Как известно, что­бы отнести некоторый объект под какое-либо понятие, необяза­тельно пользоваться определением. Можно подводить под при­знаки понятия. Чем воспользоваться: определением или призна­ком, которым признаком из имеющихся - все это диктуется усло­виями конкретной задачи.

Рассмотрим, например, задачу «В параллелограмме A BCD точка Е- середина сто­роны ВС, a F - середина стороны AD. Докажите, что четырех­угольник BEDF- параллелограмм». Доказательство требуемого факта может быть основано на определении параллелограмма. Тогда предстоит доказывать па­раллельность BF и ED. Но доказательство можно построить на одном из признаков параллелограмма. И тогда предстоит дока­зывать, что либо диагонали BD и FE точкой пересечения делятся пополам, либо стороны BE и FD равны и параллельны, либо про­тиволежащие стороны этого четырехугольника попарно равны.

Все операции: актуализация определения и признаков, выбор из них необходимого средства, подведение под определение или выбранный признак и составляет из себя прием подведения под понятие.

Тесно связан с названными еще один прием - выделение «зоны поиска» некоторого понятия. «Зона поиска» это и есть совокуп­ность определения и различных признаков. Этот прием можно эффективно использовать в начале систематического курса гео­метрии, доказывая равенство отрезков и углов. Например, учащи­еся в ходе изучения курса начинают систематизировать достаточ­ные условия равенства отрезков. По мере изучения геометричес­кого материала этот список дополняется. Список полезно вести всем учащимся, например, на последней странице тетради. Приве­дем в качестве примера «зону поиска» равных отрезков. Итак, равные отрезки можно искать в следующих ситуациях: 1) два от­резка имеют равную длину; 2) два отрезка являются соответству­ющими сторонами равных треугольников; 3) два отрезка являют­ся боковыми сторонами равнобедренного треугольника; 4) два отрезка являются противоположными сторонами параллелограм­ма, любыми сторонами ромба; 5) один отрезок получен из другого некоторым движением; 6) отрезки являются половинами или равными частями равных отрезков и т. д.

Последний из рассматриваемых приемов - прием получения следствий - заключается в том, что при решении задачи перечис­ляются следствия из наличия какого-либо понятия, то есть выделя­ются все свойства этого понятия, содержащиеся в определении и полученные с помощью доказательств. Этот прием облегчает орга­низацию обучения решению задач в начальном курсе геометрии, когда для учащихся характерна жалоба: «Я не умею начинать решать задачу». Он составляет основной смысл решения задачи синтетическим методом, движения мысли от условия к заключе­нию.

Рассмотрим пример. Доказать, что в равных треугольниках соответственные медианы равны. Прием получения след­ствий в применении к данной задаче заключается в том, что пере­бираются все данные условия и из каждого из них делаются воз­можные выводы.

При этом приходится отвечать на вопросы: 1) что значит, что треугольники равны; 2) что значит, что BD и - медианы?

Рассмотрением перечисленных приемов мы переходим от понятий и их определений к процессу реше­ния задач, в ходе которого форми­руется понятие.

На этапе систематизации материала выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

установлением связи между отдельными понятиями, теоремами, методами;

разноплановой классификацией материала по различным основаниям;

обобщениям понятий;

конкретизацией понятия.