Учебник 10 класс Никольский

Пример.

В издательстве выпущено 100 книг по овцеводству. Лоте­реей разыграны одна книга в 500 руб. и 10 по 10 руб. Найти закон рас­пределения случайной величины х - возможного выигрыша одной книги.

Решение:

Возможны значениях: Х₁= 500, х₂ = 10,х₃ = 0. Веро­ятности: р ₁ =0,01; р₂ =0,1; р₃=1 - (р₁+ р₂) = 0,89.

Закон распределения:

2. Числовые характеристики дискретной случайной величины:

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в ре­зультате испытания примет значение, меньшее х, то есть F(x) = P(X<x).

Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают слу­чайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми харак­теристиками случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием (М) дискретной величины называ­ют сумму произведений всех ее возможных значений, умноженных на их вероятности.

,

где x_i, - значение случайной величины, p_i - вероятность случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной вели­чины обладает свойствами, которые вытекают из его опре­деления.

1. Математическое ожидание постоянной величины С есть постоянная величина

2. Математическое ожидание дискретной случайной ве­личины X, умноженной на постоянную величину С, равно произведению математического ожидания М(Х) на С. То есть постоянный множитель можно выносить за знак суммиро­вания

3. Математическое ожидание суммы дискретных случайных величин X и У равно сумме их математических ожиданий.

4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий

независимы

Часто требуется оценить рассеяние возможных значений случай­ной величины вокруг его среднего значения. Дисперсией (рассеянием) D(x) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) = М[Х -М(Х)]².

Формула для вычисления дисперсии D(X) = М(Х²)-[М(Х)]².

Средним квадратичным отклонением ( (х)) случайной величины х называют квадратный корень из дисперсии: (х)

Исследование вариационных статистических рядов рассмотрим на примере.

Пример: Дан дискретный вариационный ряд

где X {x₁x₂, x₃} характеристики случайной величины X,N {n₁, п₂,п₃} - частоты появления элементов в выборке.

Провести исследование дискретного вариационного ряда

1) найти объём выборки;

2) составить закон распределения случайной величины X;

3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение:

1) Найдём объем выборки: п = n₁ +n₂+п₃=10+15+25=50.

2)Найдём относительные частоты: W₁=10/50=1/5, w₂=15/50=3/10, w₃=25/50у =1/2.

Закон распределения случайной величины X представлен таблицей:

3) Найдём математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратич­ное отклонение:

M=w₁x₁ + w₂x₂ + w₃x₃=l/5 • 1+3/10 · 4+1/2 · 6=4/4;

D= w₁ (x₁-M)² + w₂ (x₂ -M)²+ w₃ (x₃ -M)² = 1/5 · (1-4,4) +3/10 · (4- 4,4) +1/2 · (6- 4,4)=3,64; (x) = = =1,9

Д/З.

Учебник 10 класс Никольский

Стр. 348-351 п. 14.1 прочитать параграф для ознакомления. По желанию №14.3 стр. 352.