Проверка гипотез об однородности выборок

Критерий Колмогорова.

На практике кроме критерия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

, (1)

называемой статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу

. (2)

Задавая уровень значимости , из соотношения

(3)

можно найти соответствующее критическое значение .

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения .
2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением по формуле (1) и вычисляется величина

. (4)

1. Если вычисленное значение окажется больше критического _, определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Замечание

Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность, вообще говоря, выше, чем у критерия .

Пример Получена случайная выборка объема . Построим вариационный ряд и эмпирическую функцию распределения:

	-1.0	-0.6	0.2	1.3	2.1	3.0	> 3
	1 \ 6	1 \ 6	1 \ 6	1 \ 6	1 \ 6	1 \ 6
		1 \ 6	2 \ 6	3 \ 6	4 \ 6	5 \ 6

Проверим гипотезу, что эти наблюдения образуют случайную выборку из распределения с уровнем значимости . Затем мы можем определить графически либо аналитически, причем эти значения должны появиться в точке , соответствующей одной из наблюдаемых величин. С этой целью необходимо вычислить пары величин и (см. рис. 1) для каждого значения выборки.

Для вычисления вспомним: , где - функция стандартного нормального распределения. Результаты всех вычислений представим в виде таблицы:

-1.0	0.1667	0.0228	0.1439	0.0228
-0.6	0.3333	0.0548	0.2785	0.1119
0.2	0.5	0.2119	0.2881	0.1214
1.3	0.6667	0.6179	0.0488	0.1179
2.1	0.8333	0.8643	0.0310	0.1976
3.0	1.0000	0.9772	0.0228	0.1439

Из таблицы результатов следует: . Из статистических таблиц получим . Поскольку , то принимается гипотеза , т.е. можно считать, что данные подчиняются распределению .

Проверка гипотез об однородности выборок

Гипотезы об однородности выборок – это гипотезы о том, что рассматриваемые выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей с неизвестными теоретическими функциями распределения и .

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей . Будем предполагать, что функции и непрерывны.

Критерий Колмогорова-Смирнова использует ту же самую идею, что и критерий Колмогорова, но только в критерии Колмогорова сравнивается эмпирическая функция распределения с теоретической, а в критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распределения.

Статистика критерия Колмогорова-Смирнова имеет вид:

,

где и – эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам c объемами и .

Гипотеза отвергается, если фактически наблюдаемое значение статистики больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.

При малых объемах выборок критические значения для заданных уровней значимости критерия можно найти в специальных таблицах. При (а практически при ) распределение статистики сводится к распределению Колмогорова для статистики . Поэтому гипотеза отвергается на уровне значимости , если фактически наблюдаемое значение больше критического , т.е. , и принимается в противном случае.