Теорема Пифагора
Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов прямой (то есть равен 90°). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (см. рис.).
Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:
Гипотенузу можно найти по формуле:
Катет можно найти по формуле:
2.2 Как найти 
и 
из прямоугольного треугольника?
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Обозначим через α угол, лежащий напротив катета a (см. рис.).
Тогда, катет a — противолежащий катет для угла α (лежит напротив угла); катет b — прилежащий катет (непосредственно образует угол).
Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенсом угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Как найти проекции вектора, если известен его модуль и направление?
1) Опускаем перпендикуляры на ось Ox и ось Oy;
2) Проекции равны:
3) Правило знаков.
Пусть даны вектор 
и ось Ox. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на ось Ox. Пусть A и B — основания этих перпендикуляров (см. рис.).
Проекция 
вектора на ось Ox (Oy) равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол φ между вектором и осью Ox (Oy) является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если φ тупой (или развернутый). Если угол φ прямой, то 
То есть:
Получаем:
Как найти проекции вектора, если известны координаты начала и конца вектора?
|
|
Пусть 
и 
) — координаты начала и конца вектора <math\vec{a}<math="">соответственно. Тогда проекции</math\vec{a}<>
Как найти модуль вектора, если известны его проекции на оси?
Если известны проекции вектора 
и 
на оси координат, то модуль вектора легко найти по формуле:
Как найти модуль вектора, если известны координаты конца и начала вектора?
Пусть и 
— координаты начала и конца вектора 
соответственно. Тогда модуль вектора находится по формуле:
Теорема косинусов.
Для треугольника со сторонами a, b и c, углом α справедлива теорема:
Как сложить вектора, направленные вдоль одной прямой?
Пусть даны вектора и 
имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора 
помещаем начало вектора 
в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
Из рисунка видно, что модуль вектора 
равен:
Как вычитать вектора, направленные вдоль одной прямой?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора 
помещаем начало вектора 
в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.
Из рисунка видно, что модуль вектора 
равен:
Как сложить вектора, направленные под прямым углом друг к другу?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
|
|
Из рисунка видно, что модуль вектора равен:
Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора но имеет противоположное направление.
Из рисунка видно, что модуль вектора равен:
2.12 Как сложить вектора, направленные под углом α друг к другу?
Пусть даны вектора и , имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
По теореме косинусов, получаем:
