Исследование поведения функций и построение графиков

ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, I СЕМЕСТР.

Предел последовательности

Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) ; б) ; в) ; г) .
Докажите, что:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Докажите, что последовательности являются бесконечно большими:

а) ; б) ; в) ; г) .

Докажите, что последовательность неограниченная.
Докажите, что последовательность не является бесконечно большой.
Докажите сходимость последовательности и найдите ее предел, если она определяется рекуррентным соотношением:

а) - произвольное положительное число, . б) .

Найдите все предельные точки последовательностей , а также :

а) ; б) ; в) .

Исследуйте сходимость последовательности в зависимости от параметра α.
Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Предел и непрерывность функции.

Пусть , , , . Докажите, что: а) при ; б) при ; в) при .

11. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

12. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Докажите, что не существует: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Докажите, что функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке.
Найдите: а) ; б) ; в) .
Докажите, что: а) б) .
Укажите все значения , для которых верно равенство при :

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Пользуясь свойствами символа , укажите все значения , для которых верно равенство :

а) при ;

б) при ;

в) при ;

г) при ;

д) при .

Укажите все значения , при которых верно равенство при :

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

20. Напишите формулу Тейлора с центром разложения и остаточным членом для указанных функций и указанных : а) , ; б) , ; в) , ; г) , ; д) , ; е) , .

21. Найдите: а) ; б) ; в) ;

22. Найдите: г) ; д) ;

е) ; ж) .

23. Найдите: а) ; б) ; в) .

24. Найдите: а) ; б) ; в) .

25. Найдите: а) ; б) ; в) .

26. Найдите: а) ; б) ; в) .

Найдите точки разрыва функций и укажите их тип: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Дифференцирование

28. Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке :

а) , ; б) , ; в) , , , .

29. Найдите левую и правую производные функций:

а) в точке ; б) в точке ;

в) в точке ; г) в точке ;

д) в точке .

30. Найдите производную и дифференциал функции :

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

31. Найдите производную функции в точке . Найдите значение дифференциала функции в точке для указанного значения :

а) ; б) .

32. Найдите первую и вторую производные функции в точке . Найдите значения первого и второго дифференциалов функции в точке для указанного значения :

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

33. Пусть причем функция имеет левую производную в точке . При каком выборе коэффициентов и функция будет: а) непрерывной в точке ? б) дифференцируемой в точке ?

34. Пусть При каком выборе коэффициентов и функция будет: а) непрерывной; б) дифференцируемой на промежутке ?

35. Заменяя функцию (подберите ее самостоятельно) многочленом Тейлора , найдите приближенное значение числа без калькулятора: а) , ; б) , ; в) , .

36. Напишите уравнение касательной к графику функции , заданной параметрически уравнениями , , при: а) ; б) .

37. Напишите уравнение касательной к графику функции , заданной параметрически уравнениями , , при: а) ; б) .

38. Найдите дифференциал n -го порядка функции : а) ; б) ; в) ; г) .

39. Найдите дифференциал –го порядка функции для указанного :

а) , ; б) , ; в) .

40. Найдите точку c в формуле конечных приращений Лагранжа для функции на сегменте .

41. Используя правило Лопиталя, найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

42. Напишите формулу Тейлора с многочленом Тейлора порядка и остаточным членом в форме Пеано с центром разложения в точке для функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

43. Разложите по формуле Маклорена до члена указанного порядка n включительно следующие функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

44. Найдите значение многочлена Тейлора функции для указанных значений , и :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

45. Напишите выражение остаточного члена в форме Лагранжа формулы Тейлора для функции для указанных значений , и :

а) ;

б) ;

в) .

46. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Исследование поведения функций и построение графиков

47. Найдите промежутки возрастания и убывания функции , точки локального экстремума, промежутки сохранения направления выпуклости, точки перегиба. Нарисуйте эскиз графика функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

48. Найдите промежутки возрастания и убывания функции , точки локального экстремума. Найдите наклонные асимптоты графика функции. Нарисуйте эскиз графика функции: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) ; ж) ; з) ; и) .