Возведение в квадрат чисел, имеющих цифру 5.

Способы быстрых вычислений

Умение быстро и безошибочно производить устные и письменные вычисления позволяет экономить труд и время, а также быстро обна­руживать ошибки в расчетах. Приведем несколько способов, наиболее часто используемых в вычислительной практике.

Способы быстрого сложения и вычитания.

Прием округле­ния.

Этот прием основан на изменении суммы или разности в зависи­мости от изменения компонентов и применяется в том случае, когда хотя бы один из компонентов представляет собой число, близкое к круглым десяткам, сотням, тысячам и т. д.

1. Если одно из слагаемых, округляя, увеличим на несколько еди­ниц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример. 264 + 391 = 264 + (391 + 9) — 9 = 264 + 400 — 9 = 655.

2. Если одно слагаемое увеличим на несколько единиц, а второе, уменьшим на столько же единиц, сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

Пример. 998 + 936 = 1000 + 934 = 1934.

3. Если вычитаемое при округлении увеличим на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

Пример. 2342 — 996 = 2346 — 1000 = 1346.

4. Если уменьшаемое при округлении уменьшим на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

Пример. 10012 — 8645= 10000 — 8645 + 12= 1355+ 12=1367.

Использование свойств сложения и вычитания.

Примеры.

279 + 583 + 721 = (279 + 721) + 583 = 1583;

352 + 109 — 52 = (352 — 52) + 109 = 409;

573 — 432 — 68 = 573 — (432 + 68) = 73.

Способы быстрого умножения и деления.

Умножение на число, близкое к единице какого-нибудь разряда.

Пример ы. 405 × 97 = 405 × (100 — 3) = 405 × 100 — 405 × 3 = 40500 — 1215 = 39285;

8012 × 1006 = 8012× (1000 + 6) = 8012000 + 8012 × 6 = 8012000 + 48072 = 8060072.

Умножение на 9, 99 и 999. Чтобы умножить на число, написанное девятками, надо к множимому приписать справа столько нулей, сколько девяток во множителе, и из результата вычесть множимое.

П р и м е р ы.

387 × 9 = 3870 — 387 = 3483;

24 × 99 = 2400 — 24 = 2376;

18 × 999 == 18000 — 18 = 17982.

Умножение двузначного числа на 11. Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр.

П р и м е р. 72 × 11 = 792.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать избыток суммы цифр числа над 10.

Пример.

55 × 11 = 605

68 × 11 = 748.

Умножение на 5, 25, 125. Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.

Примеры.

2486 × 5 = 12430, так как 2486: 2 = 1243;

8084 × 25 = 202100, так как 8084: 4 = 2021.

Деление на 5, 25, 125. Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Примеры.

235: 5 = 47, так как 235 × 2 = 470;

1175: 25 = 47, так как 1175 × 4 = 4700.

Использование свойств умножения и деления.

П р и м е р ы.

93 × 8 × 125 = 93 × (8 × 125) = 93000;

36 × 18: 9 = 36 × (18: 9) = 36 × 2 = 72;

26 × 235: 13 = (26: 13) × 235 = 470.

Возведение в квадрат чисел, имеющих цифру 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся цифрой 5, достаточно число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу (имеется в виду число десятков + 1), и к произведению справа дописать 25.

Пример. Вычислить 35².

Решение (выполняется устно). 3 × 4 = 12, дописав 25, полу­чим результат: 35² = 1225.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, достаточно к 25 прибавить цифру единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы в результате получилось четы­рехзначное число.

Пример. Вычислить 54², 52².

Решение (выполняется устно). К 25 прибавляем 4, получаем 29. Приписываем 16. Получаем: 54² = 2916.

52²= 2704.

Возведение в степень и извлечение квадратного корня из приближенных чисел

Возведение в (целую) степень есть повторное умножение. При возведении в не­большую степень (2, 3) результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика (³3), то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.

При извлечении корня любой степени результат имеет по меньшей мере столько же верных цифр, сколько их было в подкоренном числе. Так, извлекая квадратный корень из приближенного числа 40,00, можно получить четыре верные цифры ().

Ниже приводится про­стой и легко запоминаемый способ извлечения квадратного корня (с любой требуемой степенью точности). Этот способ описан древне­греческим ученым Героном примерно 2000 лет назад. Тот же способ можно применить и для извлечения корня третьей (и более высокой) степени.

Правило извлечения квадратного корня.

Чтобы извлечь квадрат­ный корень, берем «на глаз» первое приближение и поступаем так.

1) Делим подкоренное число на первое приближение корня; если окажется, что полученное частное отличается от первого приближения на величину, не превышающую допустимой погрешности, то корень извлечен.

2) В противном случае находим среднее арифметическое делителя и частного. Это среднее арифметическое дает значительно более точное значение (второе приближение) корня. При сколько-ни­будь умелом выборе первого приближения второе приближение дает 3 верные цифры, а обычно не менее 4 верных цифр (будем исходить из неумелого выбора). Вообще в каж­дом новом приближении число верных цифр удваивается по сравнению с предыдущим.

3) Подвергаем второе приближение такому же испытанию, как первое, т. е. делим подкоренное число на второе приближение. Если бы оказалось, что точность результата недостаточна, то находим третье приближение тем же способом, каким нашли второе, и т. д.

Изложенный способ «не боится ошибок»: он автоматически исправляет арифметическую ошибку, если таковая до­пущена на предыдущем этапе.

Пример. Необходимо извлеч корень квадратный из 23,5. Искомый корень заключается между 4 и 5 и лежит гораздо ближе к 5, чем к 4 (так как 23,5 гораздо ближе к 25, чем к 16). Возьмем за первое приближение круглое число 5,0.

1) Делим подкоренное число 23,5 на первое приближение5,00 (доводя частное до третьей цифры) 23,5:5,0 = 4,70.

2) В качестве второго приближения берем среднее арифметическое (5,00 + 4,70):2 = 4,85. Можно ожидать, что все три цифры верны.

3) Для контроля делим подкоренное число 23,5 па второе при­ближение 4,85. Получаем 23,5:4,85»4,85. Так как частное равно (сточностью до третьего знака) делителю, то корень извлечен (с мак­симально возможной степенью точности).

Если подкоренное число есть десятичная дробь, имеющая в целой части одну значащую цифру или нуль, то для по­дыскания первого приближения рекомендуется перенести запятую вправо на две, четыре, шесть и т. д. цифр с таким расчетом, чтобы в целой части оказалось небольшое число знаков. Далее поступаем, как в примере, и в окончательном результате переносим запя­тую в обратном направлении соответственно на одну, две, три и т. д. цифры. Аналогично можно поступать в тех случаях, когда подкоренное число имеет многозначную целую часть; но тогда запятая вначале переносится влево на две, четыре, шесть и т. д. цифры.

В подкоренном числе запятую можно переносить только на четное число цифр.

Приведите примеры с расчетами.