Задачи к экзамену по математике для 16-ТОР
Предел функции. Теоремы о пределах. Непрерывность функции.
Найдите предел ,
, 
, 
,
,
.
Производная функции. Правила и формулы дифференцирования.
*) Дана функции 
. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке 
= - 1.
*) Напишите уравнение касательной к графику функции 
в точке = -2.
*) Найти производную второго порядка ,
*) Вычислите производную сложной функции
Возрастание и убывания функции. Экстремумы. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
*) Дана функции 
(
, 
) Найдите: а) промежутки монотонности и точки экстремума; б) интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба. Постройте график функции.
Дифференциал функции.
*) Найти дифференциал функции: а) 
; б) 
.
Неопределённый интеграл. Свойства.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
, 
.
Определённый интеграл. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
*) Вычислить интеграл: 
, 
, 
, 
, 
Дифференциальное уравнение. Общее и частное решения.
*) Решите задачу Коши для дифференциального уравнения: 
, 
.
*) Решите задачу Коши для дифференциального уравнения: 
, 
.
Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества. Множества точек на прямой. Множества точек на плоскости.
*) Проверить, истинны ли соотношения между множествами (А \ В) È (В \ А) = (А È В) \ (А ∩ В).
*) Если множество М = {(x, y): | y – x | < 2}, то: а) (1, –1) Î M; б) (–3, 1) Ï M; в) (0, –2) Î M;
г) (–2, –3) Ï M. Какие из вышеприведенных высказываний истинны, какие – ложны?
*) Даны два множества на координатной плоскости A = {(x, y): | y | £ 1} и B = {(x, y):| x+ 1| £ 1}. Изобразите на чертеже следующие множества: а) A È B; б) A Ç B; в) A \ B; г) 
.
*) Найдите и покажите на числовой прямой множества А Ç В, A È В, А \ В, А \ В, 
, 
для множеств А = [0, 5], В = (–4, 1).
*) Если множество М = {(x, y): x 2 + y 2 = 4}, то: а) (2, 1) Î M; б) (–2, 2) Î M; в) (2, –2) Ï M;
г) (1, 1) Ï M. Какие из вышеприведенных высказываний истинны, какие – ложны?
*) Даны два множества на координатной плоскости A = {(x, y): | y- 1| £ 1} и B = {(x, y):| x+ 1| £ 1}. Изобразить на чертеже следующие множества: а) A È B; б) A Ç B; в) A \ B; г) .
*). Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: 
Элементы линейной алгебры
*)Найдите сумму и произведение двух квадратных матриц А и В одного порядка, где ,
. Найдите произведение матриц В и А.
*) Решить систему уравнений по правилу Крамера:
1) 
2) 
*) Дана матрица 
. Вычислите detA.
Случайные события. Классическое определение вероятности.
*) В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
Случайные события. Статистическое определение вероятности.
*) Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Случайные величины. Закон распределения случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
*) Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5.
*) Случайные величины X и Y независимы. Найдите M(Z) и D(Z) для случайной величины
Z = 3X - 4Y + 1, если M(X) = 2, D(X) = 3, M(Y) = 6 и D(Y) = 5.
*) Случайная величина Х задана рядом распределения
Х -2 -1 0 1 2
Р 0,1 0,2 0,25 0,25 0,2
Найдите M(X), D(X), σ(X). Постройте таблицу распределения и найдите M(Y) и D(Y) для случайной величины Y = 2X + 3.
*) Случайные величины X и Y независимы. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 3Х + 2Y - 5, если известно, что M(X) = 2, M(Y) = 3, D(X) = 5, D(Y) = 6.
*) Составьте таблицу статистического распределения выборки и начертите полигон для следующего распределения размеров пар детской обуви, проданных в магазине за 1 час:
17 20 19 18 22 18 17 19 20 18. Найдите моду, медиану и среднее значение выборки.
*) Дана выборка -2, 5, -2, 0, 1, -2, 1, 1, 0, -2. Составьте таблицу статистического распределения выборки. Найдите размах вариационного ряда и среднее квадратическое отклонение.
Задача математической статистики. Основные понятия математической статистики. Вариационный ряд и относительная частота выборки. Представления статистического распределения. Числовые характеристики выборки.
*) Дана выборка 3, 4, 5, 6, 5, 3, 4, 7, 5, 2. Найдите размах вариационного ряда и среднее значение выборки. Составьте таблицу статистического распределения выборки.
*) Испытаны 10 электрических батареек. Срок службы батарейки (сут.) оказался таким:
307, 354, 326, 315, 370, 380, 365, 351, 346, 337. Составьте таблицу статистического распределения выборки, найдите среднее выборки и размах вариационного ряда.
*) Найдите размах и разброс выборки 2, 1, 2, 1, 5, 1, 3, 4, 2, 1.